第26讲 点与圆、直线与圆的位置关系

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第 26 讲

点与圆、 点与圆、直线与圆的位置关系

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考点一 点与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外. 如果圆的半径是 r,点到圆心的距离为 d,那么：(1)点在圆上 d=r;(2)点在圆内 d<r; (3)点在圆外 d>r. 2.过三点的圆 (1)经过三点作圆： ①经过在同一直线上的三点不能作圆； ②经过不在同一直线上的三点， 有且只有一个圆. (2)三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三 角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形. (3)三角形外接圆的作法：①确定外心：作任意两边的中垂线，交点即为外心；②确定半 径：两边中垂线的交点到三角形任一个顶点的距离作为半径.

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考点二 直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系的有关概念 (1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时的直线叫做圆的割线； (2)直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，这时的直线 叫圆的切线； (3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离. 2.直线和圆的位置关系的性质与判定 如果⊙O 的半径为 r, 圆心 O 到直线 l 的距离为 d, 那么： (1)直线 l 和⊙O 相交 d<r; (2) 直线 l 和⊙O 相切 d=r;(3)直线 l 和⊙O 相离 d>r.

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考点三 切线的判定和性质 1.切线的判定方法 (1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； (3)过半径外端点且和这条半径垂直的直线是圆的切线. 2.切线的性质 (1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径； (2)推论 1:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心； (3)推论 2:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

考点四 切线长定理 1.切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切 举 线长. 一 2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线 .....反 三 平分这两条切线的夹角. 考 点 训 练

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(1)(2009·江西)在数轴上，点 A 所表示的实数为 3,点 B 所表示的实数为 a,⊙A 的半径为 2,下列说法中不正确的是( ) ... A.当 a<5 时，点 B 在⊙A 内 B.当 1<a<5 时，点 B 在⊙A 内 C.当 a<1 时，点 B 在⊙A 外 D.当 a>5 时，点 B 在⊙A 外

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(2)(2010·青岛)如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°,∠B=30°,BC=4 cm,以点 C 为圆心， 以 2 cm 的长为半径作圆，则⊙C 与 AB 的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交

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(3)(2010·门头沟)如图， 已知⊙O 是以数轴的原点 O 为圆心， 半径为 1 的圆， ∠AOB=45°, 点 P 在数轴上运动，若过点 P 且与 OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设 OP=x,则 x 的取值 范围是( ) A.-1≤x≤1 B.- 2≤x≤ 2 C.0≤x≤ 2 D.x> 2

【点拨】解答本组题时注重数形结合思想.【解答】(1)通过画图和点与圆位置关系的判定条件，A 不正确.故选 A. (2)过点 C 作 CD⊥AB 于 D.∵∠B=30°,BC=4 cm ∴CD=2 cm,即点 C 到 AB 的距离等于⊙C 的半径. 故⊙C 与 AB 相切，故选 B. (3)当 P 与 O 重合时，PO=0. 当过点 P 且与 OA 平行的直线与⊙有唯一公共点时，PO= 2,即 0≤x≤ 2.故选 C.

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(2010·聊城)如图，已知 Rt△ABC,∠ABC=90°,以直角边 AB 为直径作⊙O,交 斜边 AC 于点 D,连结 BD. (1)若 AD=3,BD=4,求边 BC 的长； (2)取 BC 的中点 E,连结 ED,试证明 ED 与⊙O 相切. 中考 典 例 精 析

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【点拨】本题综合考查相似三角形的判定性质以及切线的判定.

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【解答】(1)由 AB 为⊙O 的直径 ∴∠ADB=90° 在 Rt△ADB 中，AD=3,BD=4,∴AB=5 在 Rt△ADB 和 Rt△ABC 中， ∵∠ADB=∠ABC=90°,∠DAB=∠BAC, ∴Rt△ADB∽Rt△ABC. 3 5 20 AD AB ∴ = ,即 = .∴BC= . 4 BC 3 BD BC

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(2)如图，连结 OD. ∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB. 在 Rt△BDC 中，点 E 为斜边 BC 的中点，∴EB=ED. ∴∠EBD=∠EDB. ∴∠OBD+∠EBD=∠ODB+∠EDB=90°. ∴OD⊥DE,又 OD 为⊙O 的半径， ∴ED 与⊙O 相切.

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考 点 知 识 精 讲 中 (2010·陕西)如图

,在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°,斜边 AC 的垂直平分线交 BC 于 考 点 D,交 AC 于点 E,连结 BE. 典 (1)若 BE 是△DEC 外接圆的切线，求∠C 的大小； 例 (2)若 AB=1,BC=2 时，求△DEC 外接圆的半径. 精 析

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【点拨】(1)连结过切点的半径，构造直角三角形是常用的辅助线. (2)通过证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求线段的长度.

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【解答】(1)∵DE 垂直平分 AC,∴∠DEC=90°,∴DC 为△DEC 外接圆的直径.∴DC 的中点 O 即为圆心，如图，连结 OE. 又知 BE 是⊙O 的切线，∴∠EBD+∠BOE=90°. 在 Rt△ABC 中， …… 此处隐藏：2932字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……