用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器

IIR

第2 3卷第 1期21 0 0年 2月

濮阳职业技术学院学报J u a fP yn o ain l n e h ia l g o r l u a gV c t a d T c nc l l e n o o a Co e

V0 . No.1 1 23

F b 2 1 e .0 0

用脉冲响应不变法设计 I I R数字低通滤波器樊景峰，吴加富

(济源职业技术学院，南济源 44 5 )河 5 60摘要：本设计采用脉冲响应不变法设计 I I字低通滤波器，以在根据脉冲响应不变法设计出来的 I R数所 I R数字滤波器会很好

地重现原模拟滤波器的频率特性；数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位脉冲响应，时域特性逼近好，但容易 产生频谱混叠现象，只适合低通和带通滤波器的设计，不适合高通和带阻滤波器的设计。关键词：字滤波器；冲响应不变法；率混叠数脉频

中图分类号：N l 7 T 7 3 .

献标识码： A

文章编号：6 2— 1 12 1} 1 0 5—0 17 9 6 (0 0 0— 13 4

引言

在设计一个数字滤波器之前，必须首先根据工

数字滤波器可以满足滤波器对幅度和相位特

程实际的需要确定数字滤波器的技术指标。在很多实际应用中，数字滤波器常常用来实现选频操作。因

性的严格要求，精确度高，有高度的可编程性，活灵性好，并且它没有电压飘移、度漂移及噪声等问温题，本不受环境影响，定性好等。是由于数基稳正字滤波器的以上优点，得数字滤波器广泛应用使于语音处理、图像处理、模式识别、分析、频谱医学仪器等领域。 l数字滤波器的基本设计思想及步骤一

此，指标一般在频域中给出，诸如通带截止频率 W、 阻带截止频率 W、阻带内允许的最大衰减 a、阻带。 内允许的最小衰减 a等。 此外还必须确定采样周期 T或采样频率 F。 s() 2逼近

确定了技术指标后，就可以建立一个目标数字滤波器模型。通常采用理想的数字滤波器模型。之后，利用数字滤波器的设计方法，设计出一个实际滤波器模型来逼近给定的目标。

个数字滤波器可用它的系统函数 H()来描 zM

∑6, z述 H() z=,或者用一个 N阶差分方

1∑az一 k程来描述

,即M N

()能分析和计算机仿真 3性上两步的结果是得到以系统函数 H() z或单位冲激响应 h n描述的数字滤波器。根据这个描述就 ()可以分析其频率特性和相位特性，以验证设计结果是否满足指标要求；或者利用计算机仿真实现设计的滤波器，分析滤波结果来判断。再 数字滤波器根据其单位冲激响应函数的时域特

(=,n r∑a ( k ∑b( ) kn ) ) x-+ y-r =O k=l

因此，设计一个数字滤波器，质上是寻找一组实系数【kb】使其性能满足预定的技术要求，是一 a',它个数学逼近问题，显然它与模拟滤波器的设计方法是完全一致的，只不过模拟滤波器的设计是在 s平面上用数学逼近方法寻找近似于所需特性的 H() s, 而数字滤波器的设计则在 z平面上寻找合适的 H () Z。确定了【 b】剩下的问题是设计一个具体的 a,,网络结构去实现它。可见数字滤波器设计的基本步骤如下：

性，可分为两种，即无限长冲激响应 (I滤波器和 I R)有限长冲激响应 (I滤波器。I波器的特征是 FR) I R滤具有无限持续时间冲激响应。这种滤波器一般需要用递归模型来实现，因而有时也称之为递归滤波器。FR滤波器的冲激响应只能延续一定时间， I在工程实际中可以采用递归的方式实现，也可以采用非递归的方式实现。数字滤波器的设计方法有多种，如脉冲响应不变法、双线性变换法、函数设计法、窗插

() 1确定指标

收稿日期：0 9一l一 3 20 1 o

作者简介：樊景峰 (9 2一 )男， 18,河南长葛人，济源职业技术学院教师。一

l3 5—

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值逼近法和 C eyhv hbse逼近法等等。I I字滤波器设计方法也有很多种，但它们 R数可归纳为两类：一类是模拟一数字转换法，设计一先

频特性一致， S面的虚轴线应映射到 Z故平平面的单

位圆上，即频率轴对应。 1图表述了上述映射关系。模拟滤波器到数字滤波器的转换可以在时域内实现，也可在频域内实现。时域转换法是使数字滤波

个合适的模拟滤波器，然后变换成满足原定要求的数字滤波器，这种方法简单易行，方便准确，但它只能用来

设计低通、通、高带通、阻等选频滤波器；带另一

器的时域响应与模拟滤波器的时域采样值相等，具体方法有：脉冲响应不变法、阶跃不变法和匹配 z变换法。频域转换法是使数字滤波器在一叮≤‘≤1范 r I T )围内的幅度特性与模拟滤波器在一a T≤n≤w T r//范围内的幅度特性一致，具体方法有双线性变换法和微分映照法。但上述方法中广泛使用的只有脉冲响应不变法和双线性变换法，而本文中着重讲解脉

类是直接设计法或称之为计算机辅助设计法，这

是一种最优化设计法，其适合于设计复杂的数字滤波器。 2用脉冲响应不变法设计 I I R数字低通滤波器

利用模拟滤波器来设计 I I通数字滤波器是 R低器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，主要有以下几种： ①巴特沃斯 (utr ot)波器。的幅频特 Bt r滤 ew h它性曲线，无论在通带或阻带都是频率的单调下降函数。 具有等波纹特性。它有两种型式：振幅特性在通带内是等波纹的、在阻带内是单调的切比雪夫 I型滤纹的切比雪夫Ⅱ型滤波器。

常用的方法，称之为模拟一数字转换法。模拟滤波冲响应不变法。脉冲响应不变法是依据数字滤波器的单位冲激响应 h n ( )与模拟滤波器的单位冲激响应 ht采 ()在样点上的值相等， h n:h()即 ( ) at\:h(T得到。n )

的变换关系。

如果给定模拟滤波器的传输函数 H () ,则所 sH(){【 s]… z=ZL H ()\}

②切比雪夫 ( hy e ) C bs v滤波器。它的振幅特性求的数字滤波器的系统函数 n(): h z为暂设模拟滤波器的传输函数 H ()。s只有单阶极 H )。s用部分分式表示：

波器；振幅特性在通带内是单调的、在阻带内是等波点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将利用模拟滤波器来设计 I I字低通滤波器的 R数设计过程是：按照设计要求设计一个模拟低通滤波

H s=∑1—一 ( ) S~氏变换得到 h (: at ). v

(1 2 ) .

器，得到模拟滤波器的传输函数 ()再按一定的 s,转换关系将 H ()转换成数字低通滤波器的系统函 s

数 H()这样设计的关键问题就是找到这种转换关 z。

式中 S为 H () i as的单阶极点。扎 ()将 s进行逆拉

系， s将平面上的 H () a转换成 z s平面上的 H()为 z。使转换得到的 H()满足数字滤波器的技术要求， z仍对转换关系提出如下要求： ()稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器后 1因果仍是因果稳定的。我们知道，模拟滤波器的因果稳定要求其传输函数的极点全部位于 s面左半平平

h(=∑ Ae ( f ) f )f l=

式中 ut是单位阶跃函数。 h()行等间隔 ()对 t进采样，采样间隔为 T,到：得^ r

J ) h )∑, ( ) l= a= P r n l ( ( u T lf =l

对上式进行 z变换，得到数字滤波器的系统函

面；数字滤波器因果稳定则要求其系统函数的极点全部在单位圆内。因此，映射应使 s面的左半平面平映射到 Z平面的单位圆内。‘颥 Z平面

数 H() Z:

H。):

F

( ) 22

对比(. )和 (. ), s的极点 s映射到 2 1式 22式 H () i z平面，即极点变成 e系数不变化。面分析从 ,下模拟滤波器转换到数字滤波器，s平面和 z平面之间的映射关系，而找到这种转换方法的优点。从这里

‘

l

、\\ I\\\

.

/\l l

我们以采样信号觅， (作为桥梁， )推导其映射关系。 设，采样信号用危， (的 ) (表示， )

图 1 s面到 z面的映射关系 平平

( f ) h(卜 )∑。f ( )对觅f (进行拉氏变换， )得到：

()字滤波器的幅频特性应与模拟滤波器的幅 2数一

l一 54

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。

( )=

。 f P— d () t

当盯不变，拟频率 n变化 2/模 . T的整数倍 t r时，映射值不变。或者说， s将平面沿着 j Q轴分割成一

=

【

h (), l】一 t r (一， d a )

条条宽为 2rT的水平带，￣/每条水平带都按照前

=

∑ h (r P 刀 )一

面分析的映射关系对应着整个 z平面。其映射关系 如前图 1当模拟频率 n从一 TT变化到竹 T,。 1//时数字频 W则从一 r叮， Q和 W之间成线性关系。叮到 r且

式中 h (T是 (在采样点

t T式的幅度。n ) f )=n

值，它与序列 h n幅度值相等， h n= . T。 ()即 () h( )因 n此得到：

但是，从模拟信号 h(到采样信号 r(,。) t i t其拉 o)氏变换要按照(. ) 2 4式进行周期延拓。如果原模拟信

膏 () =∑ hnem ()-?=∑ hnz I ()… =H ( I z)…

号h t的 )频带不是限于± (晋之间，则会在±{的奇数倍附近产生频率混叠，从而映射到 z平面上，在 w=± T 1附近产生频率混叠。脉冲响应不变法的频

。上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的率混叠如图 2

z变换之间的映射关系可用下式表示：Z= e (. ) 2 3

我们知道模拟信号 h(的傅里叶变换 h j ) o) t, l和，1 (

其信 (的里叶换觅j)采样号危r傅变 (之间的满 ) Q关系足：

/ 。‘\

n( )}∑H ( Q ) on i -, Q一 将 s Q代入上式，:=j得

() =

日 ( Q 一 )

(. ) 24图 2脉冲响应不变法的频谱混叠

由上两式得到：

日)= ( z 争∑H (一 (5 W=盯附近的频率特性，不同的偏离模拟滤波器。 Q) 2) 程度此式表明将模拟信号 (的拉氏变换在 s t )平面上沿虚轴按照周期 Q。延拓后，照 (. )=按 23式足给定的技术指标。为此希望设计的数字滤波器是

这种频率混叠现象会使设计出的数字滤波器在

在附近的频率特性，严重时会使数字滤波器不满’

如果不是带限的，例如高通滤波器、带映射关系，映射到 z平面上。(. ) 2 3式可称为标准映带限滤波器，阻滤波器，需要在其之前加入保护滤波器，滤除高于射关系。下面进一步分析这种关系。设s=盯+ Q jz= w

折叠频率以上的频率，以免产生频率混叠现象。但这样会增加系统的成本和复杂性，因此，高通和带阻滤波器不适合用这种方法设计。

按照 ( . ),到： J=e e T因此得到： 23式得 r j, e nr=e w=QT

假设 H (没有频率混叠现象， Q) j即满足：H (: I≥./ j n) 0 QI t T r

那么仃=,=1 0 r叮 0,r< 1

按照 (. ),将关系式 25式并s j=Q w=

仃> 0,

r> 1

上式关系说明，平面的虚轴映射 z s平面的单位圆，平面左半平面映射 z s平面单位圆内，s面右平

代入，到：得

()… z f=H( ) e =

半平面映射 z平面单位圆外。这说明如果 H ()。因果 s稳定，转换后得到的 H z也是因果稳定的。 ()另外，注意到 Z=是一个周期函数，写成： e可P= P : rP肿 + )

( )= e』

。_ ) ( ,』

1I w<

说明用脉冲响应不变法设计的数字滤波器可以 很好地重现原模拟滤波器的频响。上式中， ( ) H 的幅度特性与采样间隔成反比，这样当 T较小时，就它一

M为任意整数

l5 5—

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会有太高的增益，为避免这一现象，令 h n= h () T。(T n)

的转换关系为：W=nT。

那么 H() z=.

二 - _

,时 H(J=此 e)

(按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低 3 )通滤波器。

H ( T,I< j w/ ) WI竹

()拟滤波器的传输函数从 s面转换到 z 4将模平

得到数字低通滤波器的系统函数。 总结以上，脉冲响应不变法的优点是频率坐标平面，在设计过程中，要用到参数采样间隔 T,下面介变换是线性的，即 W=, 如果不考虑频率混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好地重现原模拟滤波器的频率特性。另一个优点是数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位脉冲响应，时域特性逼近好。其缺点是会产生频谱混叠现象，使数字滤波器的频响偏离模拟滤波器的频响。脉绍 T的选择。当采用脉冲响应不变法时，了避免产为

生频率混叠现象，要求设计的模拟低通带限于± 号之间，由于实际的滤波器都有一定宽度的过渡带，可

选择 T满足公式 f j<7。但如果先给定数字低通 Q r的技术指标时，情况则不一样，由于数字滤波器的传输函数以 2订为周期，最高频率在 1处，因此 Ws r<

冲响应不变法适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。下面总结一下利用模拟滤波器设计 I I R数字低通滤波器 (脉冲响应不变法 )的步骤： ()数字低通滤波器的技术指标：带截止 1确定通频率、带截止频率、带最大衰减和

阻带最小衰阻通减。

叮按照线性关系 w: T那么一定满足f J<7, r, n, n"这 1样 T可任选，般选 T:1一。参考文献： 【】 1陈后金 .字信号处理【 .京：数 M]北高等教育出版社，0 4 20[】镇扬 .字信号处理的原理与实现【 .南京： 2吴数 M】东南大学出版社， o 1 20.

(将数字滤波器的技术指标转换成模拟低通滤 2 )波器的技术指标。这里主要是边界频率的变换，对衰减指标不做变换。脉冲响应不变法，的边界频率用它 (接第 12页)上 5的形状随着参数空间区域的不同而不同，这对于何时改变学习速度和怎样去改变学习速度，是一个必须考虑的问题，面通过一种直观的下批处理过程来改进学习速度，即可变的学习速度方

【¨美】 3贝斯 .字信号处理的 F G实现【 .刘凌， 数 PA M】胡

永生， .北京：华大学出版社，0 2译清 20 .【】昌信 .通信原理【 .京：防工业出版社，0 1 4樊 M】北国 20.

4结束语

改进后的 B P算法用于机械故障诊断，其收敛速度和网络的灵敏度令人满意，测试效果良好，显示出收敛速度快、精确度高、稳定性好的优点，由于 B P算法在神经网络中占据着非常重要的位置，随着它的广泛应用，以后对其算法的改进会更进一步。参考文献：【】R NV SMU K M L, N R WHS N .dniig lS II A K A A A A D E U G Ietyn fSg i c n e t r sfrNew r o e s ay i ig inf a tF a u e o t o k F r n i An lssUs i c n

向传播算法 ( L P, V B )它的基本规则如下：一

、

如果平方误差权值在更新增加了且超过了

某个设置的百分数 s典型值为 1 (%到 5 )则权值%,更新被取消，学习速度被乘以一个因子‘O<￡ (< 1, )并且动量系数设置为 0。

二、如果平方误差在权值更新后减少，则权值更新被接受，而且学习速度将被乘以一个因子‘p ( 1,动量系数设置为 0则恢复到以前的值。 )如， 三、如果平方误差增长小于￡则权值更新被接，受，学习速度不变，但如果动量系数设置为 0则恢，复到以前的值。

当轨迹进入一个窄谷时，习速度递学减，否则将产生震荡，并使误差迅速增加。在每步增加超过 8的误差当中，学习速度减少且动量项被取消，这样轨迹可以迅速向沿着窄谷到极小点的方

A t c l It—l et T cnq e【】 Itra o a rf i ne i n eh iu s J .ne t n l i a i l g n i Jun l f i t v e c, 0 3 ( ) 6—6 . o ra o g a E i n e 2 0, 4: 3 9 D il d

【】兆满 .基于神经网络的实时入侵检测系统的研究和 2仲

实现【 .天津： D】天津工业大学，0 6 20. 【】 3徐冬菊 .基于神经网络的入侵检测系统的研究与实现【】 D .鸟鲁木齐：疆大学，0 5新 20.【】 4江虹，曾立波 .化的 B优 P神经网络分类器的设计与

实现【】计算机工程与应用，0 1 5:2 J. 2 0,() 12—14 2. 【】 5王勇，杨辉华，王行愚， .等一种基于进化神经网络的入侵检测实验系统【】 J.华东理工大学学报， 0 5 20,() 8 3: 5—8 . 7

向。接着学习速度继续增加以加速收敛，当轨迹超过

极小点时学习速度再次下降，此时算法已经基本收敛。一

1 6 5—