(第15课时)数列复习小结(1)

来源：网络收集时间：2026-05-28

导读：课题：数列复习小结（一）教学目的： 12．了解数列的通项公式an与前n项和公式Sn的关系． 3．能通过前n项和公式Sn求出数列的通项公式an．授课类型：课时安排：1教具教学过程：一、数列知识结构正整数集上函数及性质数列图像通项前n项和等比数列等差数

课题：数列复习小结（一）教学目的：

12．了解数列的通项公式an与前n项和公式Sn的关系．

3．能通过前n项和公式Sn求出数列的通项公式an．授课类型：课时安排：1教具教学过程：

一、

数列知识结构正整数集上函数及性质

数列

图像通项前n项和等比数列等差数列

二、知识纲要

(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义．

(3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项．

(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．

三、方法总结

1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．

2．等差、等比数列中，a1、an、n、d(q)、Sn “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．

3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．

4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．

四、等差数列

（1）定义：an 1 an d(n 1,d为常数)

（2）通项公式：an a1 (n 1)d（3）前n项和公式：Sn

n(a1 an)

na1

n(n 1)2

d（4）通项公式推广：an am (n m)d 2.等差数列{an}的一些性质

（1）对于任意正整数n，都有an 1 an a2 a（2）{an}的通项公式an (a2 a1)n (2a1 a2)（3）对于任意的整数p,q,r,s，如果p q r s，那么

ap aq ar a（4）对于任意的正整数p,q,r，如果p r 2q，则ap ar 2aq （5）对于任意的正整数n>1，有2an an 1 an （6）对于任意的非零实数b，数列{ban}是等差数列，则{an}是等（7）已知{bn}是等差数列，则{an bn}（8）{a2n},{a2n 1},{a3n},{a3n 1},{a3n 2}（9）Sn是等差数列 an 的前n项和，则Sk,S2k Sk,S3k S2k 仍成等差数列，即S3m 3(S2m Sm（10）若Sm Sn(m n)，则Sn n 0（11）若Sp q,Sq p，则Sp q (p q)

（12）Sn an2 bn五、等比数列

（1）定义：

an 1an

q(n 1,q 0)（2）通项公式：an a1qn （3）前n项和公式：Sn

na1 q 1

a1(1 qn)q 1

1 q

（4）通项公式推广：an amqn m2.等比数列{an}的一些性质（1）对于任意的正整数n，均有

an 1an

（2）对于任意的正整数p,q,r,s,如果p q r s，则apaq aras（3）对于任意的正整数p,q,r，如果2q p r，则apar aq2

（4）对于任意的正整数n>1,有an an 1an 2

（5）对于任意的非零实数b，{ban}（6）已知{bn}是等比数列，则{anbn}（7）如果an 0，则{log（8）数列{log

an}an}是等差数列，则{an}（9）{a2n},{a2n 1},{a3n},{a3n 1},{a3n 2}(10)Sn是等比数列 an 的前n项和，

①当q=－1且k为偶数时，Sk,S2k Sk,S3k S2k不是等比数列. ②当q≠－1或k为奇数时，Sk,S2k Sk,S3k S2k 六、数列前n项和（1）重要公式：

1 2 3 n

n(n 1)

；

n(n 1)(2n 1)

1 2 n

333

[

n(n 1)]2

（2）等差数列中，Sm n Sm Sn mndnm

（3）等比数列中，Sm n Sn qSm Sm qSn（4）裂项求和：

1n(n 1)

1n 1

；（n n! (n 1)! n!七、例题讲解

例1 一等差数列共有9项，第1项等于1，各项之和等于369，一等比数列也有9项，并且它的第1项和最末一项与已知的等差数列的对应项相等，求等比数列的第7项．

选题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式．

解：设等差数列为｛an｝，公差为d，等比数列为｛bn｝,公比为q. 由已知得：a1=b1=1,S9

9(a1 a9)

369 a9 81

又b9＝ａ9，∴ｑ8＝81，∴ｑ2＝３，

∴b7＝ｂ1ｑ6＝27，即等比数列的第7项为27．

说明：本题涉及的量较多，解答要理清关系，以免出错． 例2 已知数列{an}的前n项和Sn 1=4an+2(n∈N＋)，a1=1. (1)设bn=an 1-2an,求证：数列{bn}为等比数列，

(2)设Cn=

an2

,求证：{Cn}是等差数列．

选题意图：本题考查等差、等比数列的定义及逻辑推理能力．证明：(1) Sn 1=4an+2, Sn 2=4an 1+2,相减得an 2=4an 1-4an, an 2 2an 1 2(an 1 2an),又bn an 1 2an, bn 1 2bn.

又S2 a1 a2 4a1 2,a1 1, a2 5,b1 a2 2a1 3,

∴{bn}是以3为首项，2为公比的等比数列，∴bn=3×２n 1.

an2

(2) ∵Cn

Cn 1 Cn

a12

an 12

n 1

an2

an 1 2an

n 1

bn2

n 1

3 22

n 1

∴{Cn}是以

为首项，为公差的等差数列．

说明：一个表达式中既含有an又含有Ｓｎ，一般要利用

an＝Sn－Sn 1（ｎ≥２），消去Sn或an，这里是消去了Sn．

八、课后作业：

1. 已知数列｛an｝的前n项和Sn，满足：log2（Sn+1）=n+1．求此数列的通项公式an．

解：由log2（Sn+1）=n+1，得Sn=2n 1-1 当n=1时，a1=S1=22-1=3；

当n≥2时，an＝Sn－Sn 1=2n 1-1-（2n-1）=2n．

2. 在数列｛an｝中，a1=0，an 1+Sn=n2+2n（n∈N+）．求数列｛an｝的通项公式．

解：由于an 1+Sn=n2+2n ，an 1＝Sn 1－Sn，则an 1+Sn＝Sn 1－Sn+Sn＝Sn 1，即Sn 1= n2+2n．

九、板书设计（略）十、课后记：

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