4_2方阵的相似对角化

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第2节 相似矩阵与矩阵的对角化

一、相似矩阵及其性质 二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件

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2.1 相似矩阵及其性质 定义2 阶矩阵， 定义 设A,B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵 ，使得 ， 为 阶矩阵 如果存在可逆矩阵P, P 1AP=B = 成立，则称矩阵A与 相似 记为A~B. 相似， 成立，则称矩阵 与B相似，记为 . 相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足 1 1 相似关系是矩阵间的一种等价关系， 例如， A= 3 1 , B= 4 0 ,P= 例如 ， 0 2 1 5 自反性： 自反性： A~ A 5 1 因为 P 1AP:若A~B,则B~A 对称性： 对称性 ， 1 1 传递性： A~B, 3 1 1 1 传递性：若 5 1 B~C,则 A~C= — 20 4 1 1 , , = — 2 2 1 5 6 1 1 5 1 1 5 6 1 24 0 = 4 0 , = — 6 0 12 0 2 所以A~B . 所以《线性代数》 返回 下页 结束

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定义2 阶矩阵， 定义 设A,B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵 ，使得 ， 为 阶矩阵 如果存在可逆矩阵P, P 1AP=B = 成立，则称矩阵A与 相似 记为A~B. 相似， 成立，则称矩阵 与B相似，记为 . 定理1 如果矩阵A与 相似 相似， 定理 如果矩阵 与B相似，则它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值. 从而有相同的特征值. 证明：因为 证明：因为P 1AP=B, = , |λE B| =|λE P 1AP| =|P 1(λE)P P 1AP | =|P 1(λE A)P| =|P 1| |λE A| |P| =|λE A|, , A与B有相同的特征多项式， 与 有相同的特征多项式 所以它们有相同的特征值. 有相同的特征多项式， 所以它们有相同的特征值.

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定理1 如果矩阵A与 相似 相似， 定理 如果矩阵 与B相似，则它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值. 从而有相同的特征值. 相似矩阵还具有下述性质： 相似矩阵还具有下述性质： (1)相似矩阵有相同的秩； 相似矩阵有相同的秩； 相似矩阵有相同的秩 (2)相似矩阵的行列式相等； 相似矩阵的行列式相等； 相似矩阵的行列式相等 (3)相似矩阵的迹相等； 相似矩阵的迹相等； 相似矩阵的迹相等 (4)相似矩阵或都可逆或都不可逆 当它们可逆时，它们 相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们可逆时 相似矩阵或都可逆或都不可逆 当它们可逆时， 的逆矩阵也相似. 的逆矩阵也相似

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例1. 若矩阵

22 31 1 2 A= ,B = y x 3 4

相似， 相似，求x,y.

由于A和 相似 所以Tr(A)=Tr(B), |A|=|B| , 即 相似， 解：由于 和B相似，所以 由于 22 + x = 1 + 4 , 22 x 31 y = 4 6

解得 例2.

1 1 0 阶方阵A相似于 设3阶方阵 相似于D = 2 2 0 阶方阵 0 0 3

x

= 17 . y = 12

,求|A|. 求

由于矩阵A和 相似 所以|A|=|D|, 即 相似，所以 解：由于矩阵 和D相似 所以 由于矩阵 |A|=|D|=12.

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2.2 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件 阶矩阵与对角矩阵相似的条件阶矩阵A与 阶对角矩阵 Λ=diag(λ1 , λ2 , , λn) 定理2 n阶矩阵 与n阶对角矩阵 Λ= 阶矩阵 相似的充分必要条件为矩阵A有 个线性无关的特征向量 个线性无关的特征向量. 相似的充分必要条件为矩阵 有n个线性无关的特征向量.

则有

λ2 0 0 0 (Aξ1, Aξ2, , Aξn) = (λ1 ξ1, λ2 ξ2, , λnξn)A(ξ1, ξ2, , ξn)= (ξ1, ξ2, , ξn) =

证明： 必要性. 设存在可逆矩阵P=(ξ1, ξ2, , ξn)使 = 证明： P 1AP=Λ, =Λ, =Λ λ1 0 0

0 , λn

, 可得 Aξi =λiξi (i=1, 2, n) . =的特征向量，并且这n个特征向量线性无关.《线性代数》 返回 下页

因为P可逆，所以ξ1, ξ2, , ξn 都是非零向量，因而都是A

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, 充分性. 设ξ1,ξ2, ,ξn为A的n个线性无关的特征向量， , 它们所对应的特征值依次为λ1,λ2, ,λn,则有Aξi =λiξi (i=1, 2, , n) . 令 P=(ξ1, ξ2, , ξn),则 = , AP =A(ξ1, ξ2, , ξn) =(Aξ1, Aξ2, , Aξn) =(λ1ξ1, λ2ξ2, , λn ξn) = (ξ1, ξ2, , ξn) =PΛ . Λ P 1AP=Λ, =Λ, =Λ 即矩阵A与对角矩阵Λ相似. 即矩阵 与对角矩阵Λ相似. 与对角矩阵《线性代数》 返回 下页 结束

λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λn

线性无关,所以 可逆. 所以P可逆 因为ξ1, ξ2, , ξn线性无关 所以 可逆.用P 1左乘上式两端得

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1 1 例如， 例如，矩阵A= = 有两个不同的特征值λ1=4,λ2= 2, 1 5 1 1 其对应特征向量分别为ξ1= ,ξ2= . 5 1 1 1 = ,则 取P=(ξ1, ξ2)= = 1 5 P 1AP = 1 5 1 — 6 1 1 3 1 5 1 1 1 4 0 = , 1 5 0 2

所以A与对角矩阵相似. 与

2 0 问题： 问题：若取P=(ξ2, ξ1),问Λ=? Λ= = , Λ=? . 0 4 《线性代数》 返回 下页 结束

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A与对角矩阵 Λ= Λ=diag(λ1 , λ2 , , λn) 相似.

, 推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值λ1,λ2, ,λn,则

可化为对角矩阵的充分条件, 注意 A有n个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件 而不是必要条件. 而不是必要条件

4 6 0 1 2 例如，A= 3 5 0 ,ξ1= 1 ,ξ2= 1 ,ξ3= = 3 6 1 1 0特征向量. 特征向量 所以当P=(ξ1, ξ2, ξ3 )时，有 =

0 0 , 1

向量组是A的线性无关的 且有Aξ1= 2ξ1, Aξ2=ξ2, Aξ3=ξ3,向量组是 的线性

无关的

P 1AP= diag( 2, 1, 1) . =

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例3.判断下列矩阵是否相 似于对角阵, 若相似, 似于对角阵 若相似 求可逆矩 阵P,使P 1 A P= Λ . , =

+2) 4)=0, =(λ+2 2(λ 4)= ,矩阵A的特征值为 矩阵 的特征值为 λ1=λ2= 2, λ3=4, , 对于特征值λ1=λ2= 2, 解线 性方程组( 性方程组 2E A)X=o, = ,

1 3 (1) A= 3 5 = 6 6 1 1 (2) B= 4 3 = 1 0

3 3 4 0 0 2

-1 1 得其基础解系ξ1= 1 , ξ2= 0 . 0 1对于特征值λ3=4 ,解线性 方程组(4 方程组 4E A)X=o, = ,

矩阵A的特征方程为 解：(1) 矩阵 的特征方程为

λ 1 3 3 |λE A| = 3 λ+5 3 6 6 λ 4《线性代数》 返回

1 得其基础解系ξ3= 1 2下页 结束

.

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例3.判断下列矩阵是否相 似于对角阵, 若相似, 似于对角阵 若相似 求可逆矩 阵P,使P 1 A P= Λ . , =

由于A有 个线性无关的特 由于 有3个线性无关的特 所以A相似 征向量ξ1,ξ2,ξ3,所以 相似 于对角阵Λ 于对角阵Λ . 所求的相似变换矩阵为 P=(ξ1,ξ2,ξ3)

1 3 (1) A= 3 5 = 6 6 1 1 (2) B= 4 3 = 1 0

3 3 4 0 0 2

=对角阵为 Λ=

1 1 1 1 0 1 , 0 1 2 2 0 0 0 2 0 , 0 0 4

满足 P 1 A P= Λ . =《线性代数》 返回 下页 结束

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例3.判断下列矩阵是否相 似于对角阵, 若相似, 似于对角阵 若相似 求可逆矩 阵P,使P 1 A P= Λ . , =

=(λ 2)(λ 1)2=0, ,矩阵B的特征值为 矩阵 的特征值为 …… 此处隐藏：4131字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……