高中数学人教版选修2-2教学课件：《2.2.3数学归纳法(2)》

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2 .3

数学归纳法(2)

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回顾证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法 来证明它们的正确性: (1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(k N* ,k n0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。 注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可. 2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0 (2)(归纳递推)是递推的依据 n= k时 命题成立.作为必用的条件，而n=k+1时情 况则有待利用假设及已知的定义、公式、定 理等加以证明

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例:已知数列

1 1 1 1 , , , , , 1×4 4×7 7×10 (3n - 2)(3n +1)

计算 S1 ,S2 ,S3 ,S4 ,根据计算的结果,猜想 Sn1 1 解：当n = 1时，s1 = = 1×4 4 1 2 当n = 1时，s2 = s1 + = 4×7 7 1 3 当n = 1时，s3 = s2 + = 7×10 10 1 4 当 n = 1时，s 4 = s3 + = 10×13 13 n 猜想：s n = 3n +1

的表达式,并用数学归纳法进行证明.

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例:是否存在常数a、b,使得等式:12 22 n2 an2 + n + +…+ = 1 3 3 5 (2n -1)(2n +1) bn + 2

对一切正整数n都成立,并证明你的结论.解:令n=1,2,并整理得{10a 3b 2 , {b 4 .以下用数学归纳法证明:12 22 n2 n2 n (n N * ). 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) 4n 2

3a b 1

a 1

点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的 特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳 法证明它对一切正整数n都成立.

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(1)当n=1时,由上面解法知结论正确. (2)假设当n=k时结论正确,即: 则当n=k+1时,12 22 k2 k2 + k + +…+ = . 1 3 3 5 (2k -1)(2k +1) 4k + 2

12 22 k2 (k + 1)2 + +…+ + 1 3 3 5 (2k 1)(2k + 1) (2k + 1)(2k + 3) k2 + k (k + 1)2 k(k + 1)(2k + 3)+ 2(k + 1)2 = + = 4k + 2 (2k + 1)(2k + 3) 2(2k + 1)(2k + 3) (k + 1)(2k 2 + 3k + 2k + 2) (k + 1)(2k + 1)(k + 2) = = 2(2k + 1)(2k + 3) 2(2k + 1)(2k + 3) k 2 + 3k + 2 (k + 1)2 +(k + 1) = = . 4k + 6 4(k + 1)+ 2

故当n=k+1时,结论也正确. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.

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例:比较 2n 与 n2 (n∈N*)的大小解：当n=1时，2n=2,n2=1, 2n>n2 当n=2时，2n=4,n2=4, 2n=n2 当n=3时，2n=8,n2=9, 2n<n2

当n=4时，2n=16,n2=16, 2n=n2当n=5时，2n=32,n2=25, 2n>n2 当n=6时，2n=64,n2=36, 2n>n2

猜想当n≥5时，2n>n2(证明略)

注：先猜想，再证明

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例:平面内有n条直线,其中任何两条不平 行,任何三条不过同一点,证明交点的个数 f(n)=n(n-1)/2. 说明:用数学归纳法证明几何问题,重难 点是处理好当n=k+1时利用假设结合几 何知识证明命题成立.

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注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: (1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, ---则: f(n)=n2. (2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.

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作业：P108 A组31:平面内有n条直线,其中

任何两条不平行,任何三条 不过同一点, 证明这n条直线把平面分成f(n)=(n2+n+2)/2个区域.

2.是否存在常数a、b、c使得等式 1×2 + 2×3 + + n(n +1)对一切 n∈ N 都成立，并证明你的结论。* 2 2

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思考题1:n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 ------的条数f(n+1)=f(n)+_________. 2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将 空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成 f(k+1)=f(k)+__________个区域.