2013高考试题《圆锥曲线》《导数》《解析几何》解析分类汇编(3)

已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F 0,c c 0 到直线l:x y 2

0的距离为

设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点. (Ⅰ) 求抛物线C的方程；

(Ⅱ) 当点P x0,y0 为直线l上的定点时,求直线AB的方程；

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(Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求AF BF的最小值. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C的方程为x 4cy,

解得c 1.

所以抛物线C的方程为x 4y. (Ⅱ) 抛物线C的方程为x 4y,即y 设A x1,y1 ,B x2,y2

22

2

结合c 0, 121x,求导得y x 42

x12x22

(其中y1 ),则切线PA,PB的斜率分别为,y2

44

11

x1,x2, 22

x1x12x1

x y1,即x1x 2y 2y1 0 所以切线PA的方程为y y1 x x1 ,即y 222

同理可得切线PB的方程为x2x 2y 2y2 0

因为切线PA,PB均过点P x0,y0 ,所以x1x0 2y0 2y1 0,x2x0 2y0 2y2 0 所以 x1,y1 , x2,y2 为方程x0x 2y0 2y 0的两组解. 所以直线AB的方程为x0x 2y 2y0 0. (Ⅲ) 由抛物线定义可知AF y1 1,BF y2 1, 所以AF BF y1 1 y2 1 y1y2 y1 y2 1

x0x 2y 2y0 0222

联立方程 2,消去x整理得y 2y0 x0 y y0 0

x 4y

由一元二次方程根与系数的关系可得y1 y2 x02 2y0,y1y2 y02 所以AF BF y1y2 y1 y2 1 y0 x0 2y0 1

2

2

又点P x0,y0 在直线l上,所以x0 y0 2,

1 9 222

所以y0 x0 2y0 1 2y0 2y0 5 2 y0

2 2

19

所以当y0 时, AF BF取得最小值,且最小值为.

22

7.（2013广西卷21题）．（本小题满分12分）

2

x2y2

已知双曲线C:2 2 1 a 0,b 0 的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，

直线

aby 2与C

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（I）求a,b;；

（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且

AF1 BF1,证明： AF2ABBF2成等比数列.

解(1)依题意

c

3 c 3a b2 c2 a2 8a2 a

2

2

2

所以双曲线C的方程为8x y 8a 将y 2代入上式得x a

22

1,

2

依题意知 a 1 b 2

2

(2)由(1)知F1( 3,0),F2(3,0),C的方程为8x y 8……① 依题意设l的方程为y k(x 3).代入①化简整理得 (k 8)x 6kx 9k 8 0 设A(x1,y1),B(x2,y2),则

2

2

2

2

6k29k2 8

x1 1,x2 1,x1 x2 2,x1x2 2

k 8k 8

于是AF1

(3x1

1)

BF1 3x2 1

2 AF1 BF1 (3x1 1) 3x2 1 x1 x2

36k22419 2 k2 x1x2

k 8359

由于AF2

3x1

1

BF2 3x2 1

故AB AF2 BF2 2 3(x1 x2) 4

AF2 BF2 (3x1 1)(3x2 1) [9x1x2 3(x1 x2) 1] 16 ABBF2成等比数列 所以AB AF2 BF2,即AF22

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8.（2013全国新课标二卷20题）（本小题满分12分）

（Ⅱ）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值

22

x12y12x2y2

解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2)则2 2 1……① 2 2 1……②

abab

(x1 x2)(x1 x2)(y1 y2)(y1 y2) 0 22

ab

111

设P(x0,y0)因为P为AB

的中点，且kOP y0 x0 y1 y2 (x1 x2)

222

①-②得又

y1 y2

1,所以a2 2

b2, a2 2(a2 c2)

c a2 6,b2 3.

x1 x2

x2y2

1. 所以M的方程为63

(2)因为CD AB,直线AB

的方程为

x y

0,所以设直线CD的方程为y

x m,

x2y2

1得3x2 0 AB所以将x y 0代入

63AB

.将

y x

m代入

x2

y2

1得3x2 4mx 2m2

6 0设63

又因为C(x3,y3),D(x4,y4),则CD

16m2 12(2m2 6) 0 3 m 3所以,当m 0时, CD取得最大值4,所以四边

形ACBD面积的最大值为(SACBD)max

1AB CD . 29.（2013年河南山西河北卷 20）（本小题满分共12分）

已知圆M:(x 1) y 1,圆N:(x 1) y 9,动圆P与M外切并且与圆N内切，圆

2

2

2

2

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心P的轨迹为曲线 C. （Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 【命题意图】

【解析】由已知得圆M的圆心为M（-1，0）,半径r1=1，圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3. 设动圆P的圆心为P（x，y），半径为R.

（Ⅰ）∵圆P与圆M外切且与圆N内切，∴|PM|+|PN|=(R r1) (r2 R)=r1 r2=4， 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2

(左

x2y2

顶点除外)，其方程为 1(x 2).

43

（Ⅱ）对于曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|-|PN|=2R 2≤2，∴R≤2, 当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.

∴当圆P的半径最长时，其方程为(x 2) y 4，

当l的倾斜角为90时，则l与y轴重合，可得

|AB|=2

2

当l的倾斜角不为90时，由r1≠R知l不平行x轴，设l与x轴的交点为Q，则

|QP|R

=，

|QM|r1

. 4

可求得Q（-4，0），∴设l：y k(x 4)，由l于圆M

1，解得k

x2y2x 1(x 2)并整理得7x2 8x 8 0，当k

=时，

将y 解得4443x

1,2=

4 18，∴

x1 x2|=. 7718时，由图形的对称性可知|AB|=， 47

当k=

－

综上，|AB|=

18

或

|AB|=7

10.（2013湖北卷21题） (本小题满分12分)

如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为

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2m，2n m n ，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到

小依次为A，B，C，D。记

m

， BDM和 ABN的面积分别为S1和S2。 n

（I）当直线l与y轴重合时，若S1 S2，求 的值；

（II）当 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1 S2？并说明理由。

【解析与答案】（I）S1

S2 m n 解得：

1（舍去小于1的根）

第21题图

x2y2x2y2

（II）设椭圆C1:2 2 1 a m ，C2:2 2 1，直线l：ky x

aman

ky x222a mk2 2

2 y 1 y xyA22am 1 a2m2

又 BDM和 ABN的的高相等

S1BDyB yDyB yA S2AByA yByA yB

如果存在非零实数k使得S1 S2，则有 1 yA 1 yB，

22

a2 2 2 1 2 1 2 1 1 2

2即：2，解得k 2222223

a nka nk4n

当 1 时，k2 0，存在这样的直线l；当1 1 时，k2 0，不存在这

样的直线l。

——介休一中高二一部