2013高考试题《圆锥曲线》《导数》《解析几何》解析分类汇编(2)

(Ⅰ) 当k 1时,求函数f x 的单调区间；(Ⅱ) 当k ,1 时,求函数f x 在 0,k 上的最大值M.

1

2

【解析】(Ⅰ) 当k 1时,

f x x 1 ex x2,f x ex x 1 ex 2x xex 2x x ex 2

令f x 0,得x1 0,x2 ln2

当x变化时,f x ,f x 的变化如下表:

右表fx0,ln2 ,0 , ln2, .

(Ⅱ)f x ex x 1 ex 2kx xex 2kx x ex 2k ,

令f x 0,得x1 0,x2 ln 2k , 令g k ln 2k k,则g k 1 增,

所以g k ln2 1 ln2 lne 0,从而ln 2k k,所以ln 2k 0,k

1k

1 k 1

0,所以g k 在 ,1 上递k 2

介休一中高二一部寒假数学作业

所以当x 0,ln 2k 时,f x 0；当x ln 2k , 时,f x 0； 所以M max f 0 ,f k max 1, k 1 ek k3 令h k k 1 ek k3 1,则h k k ek 3k , 令 k ek 3k,则 k ek 3 e 3 0

1 3 1 所以 k 在 上递减,而,1 1

e 3 0

2 1

2

2

x 0所以存在x0 使得,且当,1k ,x 00 时, k 0,

2 2

当k x0,1 时, k 0,所以 k 在 ,x0 上单调递增,在 x0,1 上2

1

1

单调递减.

1 7 1

h1 0hk 0因为h ,,所以在 0 ,1 上恒成立,当

2

8

2

且仅当k 1时取得“ ”.

综上,函数f x 在 0,k 上的最大值M k 1 ek k3.

2．（本小题满分14分）(2013广东文) 设函数f(x) x3 kx2 x k R ． (1) 当k 1时,求函数f(x)的单调区间；

(2) 当k 0时,求函数f(x)在 k, k 上的最小值m和最大值M．

'2

【解析】：f x 3x 2kx 1

'2

(1)当k 1时f x 3x 2x 1, 4 12 8 0

f' x 0,f x 在R上单调递增.

'2

（2）当k 0时，f x 3x 2kx 1，其开口向上，对称轴x

k

，且3

1 过 0，

2

（i

）当 4k 12 4

k k

0，即

'

k 0时，f x 0，f x 在 k, k 上单调递

介休一中高二一部寒假数学作业

增，

从而当x k时，f x 取得最小值m f k k ,

333

当x k时，f x 取得最大值M f k k k k 2k k. 2

（ii）

当 4k 12 4

k k 0，

即k 时，令

f' x 3x2 2kx 1 0

解得：x1 ,注意到k x2 x1 0, x2

(注：可用韦达定理判断x1 x2 ，x1 x2 或者由对称结合图像判断)

1

32k

k,从而k x2 x1 0；3

m min f k ,f x1 ,M max f k ,f x2 f x1 f k x13 kx12 x1 k x1 k x12 1 0

f x 的最小值m f k k,

32

f x2 f k x2 kx2 x2 k3 k k2 k = x2 k [ x2 k k2 1] 0

2

f x 的最大值M f k 2k3 k

综上所述，当k 0时，f x 的最小值m f k k,最大值

M f k 2k3 k

解法2（2）当k 0时，对 x k, k ，都有

f(x) f(k) x3 kx2 x k3 k3 k (x2 1)(x k) 0，故f x f k

f(x) f( k) x3 kx2 x k3 k3 k (x k)(x2 2kx 2k2 1) (x k)[(x k)2 k2 1] 0

故f x f k ，而 f(k) k 0，f( k) 2k3 k 0 所以 f(x)max f( k) 2k3 k，f(x)min f(k) k

3（本小题共13分）(2013北京.理)

介休一中高二一部寒假数学作业

设l为曲线C:y lnx在点(1,0)处的切线．

x

（Ⅰ）求l的方程；

（Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线l的下方． 解：（I） y

lnx1 lnx

,所以l的斜率k y y 2

xx

x 1

1

所以l的方程为y x 1

（II）证明：令f(x) x(x 1) lnx(x 0) 则f (x) 2x 1

1x

(2x 1)(x 1)

x

f(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f(1) 0 x (0,1)时，f(x) 0，即

lnx

x 1 xlnx

x (1, )时，f(x) 0，即 x 1

x

即除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方

2013年全国各省（市）高考数学（理）

分类汇编(解析几何)

1. (2013年天津卷18题)(本小题满分13分)

x2y2设椭圆2 2 1(a b 0)的左焦点为F,

, 过点F且与x轴垂直的直线被椭

ab (Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若

AC·DB AD·CB 8, 求k的值.

解(1)设F( c,0),

由

c a ,过点F且与x轴垂直的直线为x c.

a( c)2y2 1 y b

代入椭圆方程得,

a2b2x2y2

1 又b a c a c 1.所以椭圆的方程为32

2

2

2

介休一中高二一部寒假数学作业

(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F( 1,0)得直线CD的方程为y k(x 1).

y k(x 1)

由 x2y2 (3k2 2)x2 6k2x 3k2 6 0,

1 2 3

6k23k2 6

,

因为A(B,所以

x1 x2 2,x1x2 2

3k 23k 2

AC DB AD CB (x1 y1) x2, y2) (x2 y2) x1, y1)

6 2x1x2 2y1y2 6 2x1x2 2k2(x1 1)(x2 1)

2k2 12

6 (2k 2)x1x2 2k(x1 x2) 2k 6

2

3k 2

2

2

2

2k2 12

由已知得6 8 k

3k2 2

2.（2013年重庆卷21题）

如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x

轴上，离心率e 椭圆于A,A 两点，AA 4。 （1）求该椭圆的标准方程；

（2）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P ，过

，过左焦点F1作x轴的垂线交2

P,P 作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外。若PQ P Q,求圆Q的标准方程。

解(1)依题意知点A( c,2)在椭圆上,

( c)2442

1 e b 8 则a2b221 e2

b2x2y2

16.故椭圆方程为 1 从而a 2

1 e168

2

由椭圆对称性,可设Q(x0,0),又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则

介休一中高二一部寒假数学作业

x2

QM (x x0) y x 2x0x x 8(1 )

16

2

2

2

2

20

12 (x 2x0)2 x0 8(x [ 4,4]) 2

设P(x1,y1),依题意,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此上式当x x1时取最小值,又因为

2 x [ 4,4],所以上式当x 2x0时去最小值,从而x1 2x0,且QP 8 x0

2

因为PQ P Q,且P (x1, y1),所以QP QP (x1 x0,y1) (x1 x0, y1) 0

即(x1 x0) y1 0,由椭圆方程及x1 2x0

2

2

x12x12x0 1 得x1 8(1 ) 0 x1

416323

从而QP 8 x0

2

2

16

3

故这样的园有两个,其标准方程分别为

(x216216

y2 ,(x y2 . 33

3.（2013安徽卷18题）（本小题满分12分）

x2y2

1的焦点在x轴上 设椭圆E:2 2

a1 a

（Ⅰ）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆E上的第一象限内的点，直线F2P交y轴与点Q，并且F1P F1Q，证明：当a变化时，点p在某定直线上。 【解析】 （Ⅰ）

58x28x2

a 1 a,2c 1,a 1 a c a 1.

853

2

2

2

2

2

2

（x c,y),QF2 (c, m). （Ⅱ） 设F1 …… 此处隐藏：3100字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……