2003年全国大学生数学建模大赛论文(4)

4.1 序列的平稳化

序列的平稳化将使用差分方法[4](P13)。该方法认为任意时间序列在进行有限次差分后可以得到一个平稳序列.经过平稳化后，非随机项将消失，留下平稳的随机项。

对其使用三阶差分后得到的序列如下：

36 2346 147 56104 11875 5052 6575 6357 28 4455 2113

3 2415

标记在图中如下：

4

1

1

10

15

11

19

(图4-1) 由图可见，数据基本已经在0的上下等幅度振动

在本模型中，使用前30个元素进行统计分析，来预测后35个元素。

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4.2 模型辨识

在时间序列分析理论中。常见的三种模型是AR(自回归，Auto Regression)模型，MA(滑动平均，Moving Average)模型和ARMA(滑动自回归混合模型)，序列具体使用哪一个模型，以及该模型的阶数，是由其统计特性决定的。有关模型辨识的各个定理的证明参见文献[5](P268)，这里仅给出所需要的公式和结论，以及演算的步骤。

4.2.1 序列中心化

设上述平稳序列为x1,x2,...x30，它是平稳过程{X(t),t=0,1,2,...}的一组采样值，则计算序列均值

130

x=xi (4.1) ∑30i=1

为该平稳过程均值的一个无偏估计；

再令： wi=xi x (4.2) 那么，w1,w2,w3,...为一零均值序列。

根据(4.1) x=0.5968 (4.2.1) 再由(4.2)式得x1,x2,x3,...经过中心化后的值为： 35.40326.4032 23.596845.4032 14.5968 56.5968103.4032 118.596874.4032 50.596851.4032 65.596874.4032 63.5968

28.5968 44.596856.4032

24.596814.40323.4032

0.59680.4032

记为w1,w2,w3,...w30。

54.4032 1.5968 21.5968 2.596812.40321.40322.4032 1.5968

4.2.2 各统计量的估计

协方差函数使用下式估计：

1N k

γ k=∑wiwi+k k=0,1,...,M (4.3)

Ni

在本题中，取N=30,M=7,得到的协方差函数的估计为：

r

γ =( 961.460706.6987 530.0682456.1680 451.7485) (4.4) 自相关函数使用下式估计：

γ

k=k k=0,1,2,... (4.5) ρ

γ 0

在本题中，得到的自相关函数的估计值为：

r

=( 0.73500.5513 0.47450.4699 0.4602) (4.6) ρ

偏相关函数使用下式估计：

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α 1 1,1=ρ kk

k+1 ∑ρ k+1 jα jα k+1,k+1=(ρ kj)(1 ∑ρ kj) 1 j=1,2,...,k (4.7) α

j=1j=1

k+1,j=α k,j α k+1,k+1α k,k j+1 α

在本题中，得到的偏相关函数的估计值为：

r

k,k=( 0.73500.3741 0.13350.1605 0.0452) (4.8) α

4.2.3 模型辨识

AR，MA，ARMA模型的重要特征体现在自相关函数和偏相关函数的截尾和脱尾特

性上，在95%的置信水平上，当

2 k< ρ (4.9)

N0

即可认为自相关函数截尾。AR(k)模型的特点是：自相关函数脱尾，偏相关函数从第k项开始截尾。

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k,k从第三项本题中：N0=30，所以==0.3651，显然，ρk序列脱尾，α

30N0开始截尾，则模型辨识为AR(3)模型。

4.3参数估计

本节使用参数的矩估计法估计AR(3)模型的各个参数。用于估计的各个公式和结论

见文献[4](P279)

AR(3)模型的形式为：

wt φ1wt 1 φ2wt 2 φ3wt 3=at (4.10)

at为白噪声序列。此处要估计的参数为φ1,φ2,φ3

参数估计：

各待估参数写成矩阵形式，满足下列方程：

1 1Lρ p φρ ρ1 1 2 1 p 2 φLρ1ρ ρ2 (4.11) M = L LL ρ p 1ρ p 2L1 ρ φp p

其中的系数矩阵为Toeplitz矩阵，它是可逆的。代入各参数，解矩阵方程后可得各待估参数为：

r

=(0.71400.07170.1335) (4.12) φ

所以本序列的AR(3)模型为： wt=0.7140wt 1+0.0717wt 2+0.1335wt 3+at (4.13)