2003年全国大学生数学建模大赛论文(3)

经Matlab计算得拟合的结果为

λ(t)=a0t5+a1t4+a2t3+a3t2+a4t+a5

a0=-2.086645471158186e-008 a1=3.826946418938200e-006

a2=-2.637966830667394e-004 a=8.460469830641663e-003 3

a4=-1.258413197153712e-001

a5=7.186295025799703e-001 (3.7)

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µ(t)=b0t4+b1t3+b2t2+b3t+b4

b0=3.690393696768289e-007 b1=-5.426546482413156e-005

b2=2.755384767332514e-003 b3=-5.569811914495037e-002 b4=3.698033771130149e-001

(3.8)

3.3 利用估计出的日接触率和日治愈率预测

在利用北京市提供的前30组数据得到的λ和µ关于t的拟合方程之后，下面进一步讨论如何利用已知的前30组数据，按照微分方程模型，对后35组数据进行预测。

回到(3.4)式，由差分定义可知存在

di

=it it 1 (3.9) dt

以及

ds

=st st 1 (3.10) dt

将(3.9)、(3.10)式代入(3.4)式，可得

st 1

st= λit+1 (3.11) it 1 it= 1+µ λst

为实现模型的预测，将(3.11)式整理为迭代的形式

λit 1+1+µ+λst 1 (λit 1+1+µ+λst 1)2 4λ(1+µ)

st=2λ (3.12)

it 1 it=

1+µ λst

且由(表3.1)知s0=14229208，i0=339。由此可算得第t天时Nit的值，也就是第t

天时已确定感染的病人数，下面将用迭代计算出的i值称为理论值，表示为i′(t)，而实际数据得出的i值称为实际值，表示为i(t)。将计算结果整理成下表，以示比较。

t 0 1 2 3 4 5

Ni(t) 339 482 588 693 774 877

Ni′(t) 339.000475.479619.265761.197894.1941013.92

t 33 34 35 36 37 38

Ni(t) 2465 2490 2499 2504 2512 2514

Ni′(t) 2804.752794.752772.172738.332694.912643.91

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(表3.3)

上表中Ni(t)和Ni′(t)的值之间的偏差不是很大，两者随时间变化的走势基本相同。这表明模型的建立是遵从客观的自然规律的。而且这不大的偏差还将使用模型IV修正，达到更高的精度。

目前通过附表一所得到的数据仅为从4月20日起北京的非典统计数据，下图(图3.1)较为精确的给出了λ的理论值和实际值之间的比较。曲线代表的是经前30项数据拟合后推出的从4月20日（t=0）到6月23日（t=64）λ的理论值图像。点线则是对应时间的λ的真实值。从图上看，λ服从五次多项式拟合后的结果呈下降趋势。这说明自t=0起，在控制阶段中，政府的控制力和社会人群的主观能动性已经较突出的体现在了λ值的随时间的变化规律上。

下面对4月20日之前的情况进行详细的讨论，以此对卫生部门所采取的措施做出评论。具体而言，就是对提前或延后五天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。

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（图3.1） λ的理论值和实际值

3.4 阻滞增长模型(模型Ⅱ)刻画自由传播阶段非典疫情

在4月20日之前的患病人数，显然不能通过拟合的λ值算得结果，因为非典病人不可能一下子成为i0=339，一定也有一个从无到有的过程。解释为：

1. 在4月20日之前，宏观控制力不够，没能采取严格的隔离措施。

2. 社会人群能动性不足，不能及时有效的采取合理的方法防治非典病毒。

基于以上两点，结合传染病理论的相关知识，可以认为，传染病在初期没有人为干预情况下表现为自由传播。这一阶段的患病人数的增长可用Logistic模型(阻滞增长模型)刻划。

于是整个Ni(t)（病人总数）的变化过程可以描述为两部分。一部分是后期受控阶段的病人总数，也即模型I。另一部分即是在自由传染阶段模型Ⅱ，用Logistic模型描述为：

dI

=r(1 I)I

(3.13) dt

N I0=1

r为Logistic模型中的固有增长率。I为自3月2日开始起算的已确诊的病人数占总体的比例

(3.13)式求解得：

1

(3.14) I(t)= rt

1+(N 1)e

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北京第一例非典病人出现于3月2日[3]，距题中4月20日相距50天。则有

NI(50)=339 (3.15)

结合(3.14)式，可以算得固有增长率r=0.1165。从而关于非典前期传染的数学模型建立为

1

(3.16) I(t)= 0.1165t

1+(N 1)e

式中t为距首例患病者被发现时（3月2日）的天数，N为北京人口总数。由(3.16)式可以很直观的看出，在距首例患者被发现后50天开始进行严格的隔离限制政策，得到NI(50)=339。如果提前5天下达严格制理措施，则得到I(45)=189。相反如果退后5天，则NI(55)=606。

而NI(45)=189和NI(55)=606分别为上述两种情况下，控制阶段的初始病例数。据此，可以对这两种情况的疫情发展进行预测。

首先给出以下两个命题：

z 命题1：对同一封闭地区，对于λ的变化，t和ξ 起决定性作用。其中t是距控

制过程开始的天数，ξ 是当地的人口密度。

证明：由于λ 的值反映的是有效接触率，随着时间的推移在社会中流动的传染病人数目将会相对减少，从而降低了λ的值。而难于获得的流动传染者的数据将表现为t对λ的影响。同时，如果当地人口密度ξ值较大。则意味着单位时间内人与人之间接触的频率将会相对增加，从传染病本身的含义，显然可以推知λ 受ξ 的影响是不可忽略的。 z 命题2：从数据拟合的λ(t,ξ)表达式不受控制过程开始时已患病人数的影响。

证明：根据附表一的北京统计数据，已经拟合出关于λ的五次多项式 (3.7)。这一多项式的系数不因控制阶段开始的提早或推后而改变。提早或推后改变的只是在突发的自由传播阶段已患病的人数，而这些人数相对于人口总数N十分微小。由此可知，在控制阶段开始后，对于同一地区的控制力可认为相同。则单位时间内隔离非典病人的人数应该随已患病人数的多少成比例放大或缩小。只要λ的值变为0，就意味着非典已经不再传染。从而已患病非典累计人数不再改变。而λ的解释式对同一地区是恒定的。同一地区的非典疫情完全受控的时间，也即不再有新的病历出现的时间都是相同的。

说明：在命题1中，提到t和ξ 对λ的影响起决定性作用。但是在同一地区，ξ的值代表的当地的人口密度。在一个相对较短的时 …… 此处隐藏：3500字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……