2003年全国大学生数学建模大赛论文(2)

模型的实用性：

z 模型可用于对某种新流行病流行初期情况的预测。它是在拥有较少的数据量（包

括一些推算数据）和对病理特性不完全了解的情况下建立的。该模型可在一定程序的预测出北京病情完全控制的大致时间及大致的发病人数，虽然存在较大的误差，但在病情爆发的初期，能得到这样的结果已具有较高的实用价值，并且为后期进一步建立更精确的模型提供了参考。

本文利用附表一中提供的北京4月20日到5月20日的数据，建立了一个更加精确灵活的数学模型，希望能够为流行病的预防控制提供理论参考。

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1．问题的提出

今年2到6月，一次史无前例的流行病SARS传染席卷全国的大部分地区，尤其以首都北京，香港，广东等地最为严重。在疾病的控制上，一方面政府采取了行之有效的隔离、跟踪和治疗措施；另一方面，科学工作者基于数学工具建立的各种描述疾病扩散的数学模型起到了很好的指导作用。

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2. 概要分析

2.1 模型的概要分析

本模型的主要目的是对政府控制后某天为止的累计患者人数的估计。设U(t)表示第t天的累计患病人数，虽然从流行病学的角度说，U(t)有规律可循，但是在当今日益复杂多样的因素影响下，又呈现出一定的随机特性，所以把它表示为：

U(t)=f(t)+X(t) (2.1)

f(t)表示患病人数的增长和下降趋势，是由流行病传染特性决定的，非随机的因子； X(t)是一个随机变量，实际表现为对单纯依据传染病学规律所建模型的修正。 本模型就是依据(1.1)将U(t)分解为两部分，各个击破。 非随机部分：

1. 引入病人的日接触率和日治愈率，基于经典的SIR模型[1](P114)（模型I）初步

建立微分方程组；

2. 根据附表一提供的部分数据，估计日接触率和日治愈率随时间变化的函数； 3. 将估计出的日接触率和日治愈率回代入SIR模型，用于对附表一的另一部分

数据预测；

4. 为了对模型I进一步拓展，对控前疾病的自由传播建模（模型Ⅱ），进而与模

型I结合，得出含政府控制力度的疾病传染模型Ⅲ；

5. 基于模型Ⅲ对政府采用不同措施后的效益进行定量分析和比较； 6. 其他改进措施；

上述各点的具体处理技巧和细节将在第3部分的各节详细叙述。

随机部分：

作为对非随机部分的修正，随机部分的计算使用了“平稳时间序列分析”的方法建模（模型IV）

(t)进行平稳化处理，使趋势项消失，得到了一组1. 将模型I中估计所得的U

平稳误差序列X(t)，进一步中心化，得到0均值的平稳序列w(t)；

2. 利用统计学中的参数估计手段考察w(t)的各项统计特性，进行AR，MA，

ARMA模型辨识；

3. 估计模型中的各项系数，得到递推的误差预报函数；

(t)修正，整体考察得到最终的预报模型； 4. 利用预报函数对U

注：该非随机部分只对模型I修正，模型Ⅱ中的自由传播部分不属于修正范围； 上述各点的具体处理技巧和细节将在第4部分的各节详细叙述。

2.2 符号系统

公共符号及含义：

N(t)：第t天实际累计患病人数；

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N：总人口数；

s(t)：健康人数占总人口数的比例； i(t)：患病人口占总人口的比例； r(t)：免疫的人口占总人口的比例；

‘Ni(t)：模型I中对累计患者的总数预测； ‘‘Ni(t)：加入随机部分修正后的对累计患者的总数预测； 模型I中的各个符号及含义：

λ(t)：病人日接触率（每个病人每天感染的健康人数）； µ(t)：疾病的日治愈率； ξ：城市人口密度；

模型Ⅱ中的各个符号及含义：

I(t)：在疾病自由传播情况下累计患病人数占总人数比例； 模型IV中各个符号及含义：

xi：N(t)经平稳化后得到的平稳随机时间序列；

wi：xi中心化处理后的0均值平稳序列； γ k：wi的分组协方差估计；

k：wi的分组自相关函数估计； ρ

k,j：wi序列的偏相关函数估计； α

εt：白噪声序列；

φt：AR/MA/ARMA模型中递推方程的待估系数； Ni(t)：误差预报值；

2.3 模型假设

1. 非典突发时，各重灾区采取了封闭措施，可以认为在这一段时间内总人数N基本

保持不变。

2. 将研究的人口的全体分为易感染型、病人和免疫型三类，三类人在总人数N中的

比例分别记作s(t)、i(t)和r(t)。根据SARS机理，可认为免疫型在短期内不会在患病，也不会传染别人，所以r应包含病愈和己死亡的病人两类，因为他们已经退出感染系统。

3. 每个病人每天有效接触的平均人数为λ(t,ξ)，λ(t,ξ)称为日接触率，是关于时

间t和人口密度ξ的函数。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。 4. 在建模过程中不必考虑疑似病例的问题，因为本文所建的模型是对已经确诊的患

者总数进行预测。疑似病倒中的患者数将最终归入患者总数，因而也不会影响对最终患者总数的预测。

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3. 微分方程初步建模

3.1 基于经典的SIR模型（模型I）初步建立微分方程组

考虑到非典的模型的特点：

z 非典疫情前后延时四个月，时间不是太长； z 治愈后的病人复发率非常低，可以忽略不记； z 非典潜伏期为二到七天，且无周期性发作趋势。 基本符合传染病SIR模型1，作以下假设：

z 非典突发时，各重灾区采取了封闭措施，可以认为在这一段时间内总人数N(其

[2]

值应为北京人口总数，经核实为1423万)的值基本保持不变。 z 将研究的北京人口的全体分为易感染型、病人和免疫型三类，三类人在总人数N

中的比例分别记作s(t)、i(t)和r(t)。其中r应包含病愈和己死亡的病人两类，他们在归为r类后已经退出感染系统。

z 每个病人每天有效接触的平均人数为λ(t,ξ)，λ(t,ξ)称为日接触率，是关于

时间t和人口密度ξ的函数。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。日治愈率为常数µ，是反映非典时期医疗水平的一个参数。由于非典时期相对较短，认为µ是一个常数也是合理的。 由前两条假设显然有

s(t)+i(t)+r(t)=1 （3.1）

再结合第三条假设有方程

N

di

=λNsi µNi dt

（3.2）

成立。对于病愈和已死亡的移出者而言应有

drN=µNi （3.3） dt

再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0(>0)和i0(>0) (不妨设移出者的初始值r0=0)，则由（3.1）、（3.2）和（3.3）式，SIR模型的方程可写作

di

=λsi µi dt ds

= λsi

dt （3.4）

i(0)=i0 s(0)=s0

3.2 估计日接触率和日治愈率随时间变化的函数

1

这里之所以没有采用SIER模型分析，是因为，首先非典病毒在潜伏期的传染性极低，其次目前尚无可靠的专业资

料证明非典为周期性发作的传染病

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(3.4)式求解析解较困难，而λ和µ又是预测的关键参数。为求得λ和µ，下面使用差分的方法处理数据。

(3.4)式可变形为

λ=

ds/dt

si

(3.5) i=

ds/dt+di/dt

µ

(3.6)

s和i的含义分别为从获得有效的北京数据的日期（4月20日）开始，到第t天为止，

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