步步高2015高考数学(人教A理)一轮讲义：9.4直线与圆、圆与圆的位(3)

由(3－2)2＋22＝5<8知点Q在圆P内， 所以l与圆P恒相交. 设l与圆P的交点为M，N，

则|MN|＝8－d(d为P到l的距离)，

设PQ与l的夹角为θ，则d＝|PQ|·sin θ5sin θ， 当θ＝90°时，d最大，|MN|最短.

1此时l的斜率为PQ，

21

故l的方程为y－2x－3)，x＋2y－7＝0.

2

B组 专项能力提升 (时间：30分钟)

1.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为

( )

A.x2＋y2－2x－3＝0 C.x2＋y2＋2x－3＝0 答案 D

B.x2＋y2＋4x＝0 D.x2＋y2－4x＝0

解析 设圆心为(a,0)，且a>0，

则(a,0)到直线3x＋4y＋4＝0的距离为2， 即

|3×a＋4×0＋4|14

＝2 3a＋4＝±10 a＝2或a＝－(舍去)，

33＋4则圆C的方程为(x－2)2＋(y－0)2＝22， 即x2＋y2－4x＝0.

高

2.圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有 A.1个 答案 C

|9＋12－11|

解析 因为圆心到直线的距离为2，

5

又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知， 圆上到直线的距离为1的点有3个.

3.(2013·江西)过点2，0)引直线l与曲线y＝1－x相交于A、 B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l 的斜率等于 A.3

3

B.－

3 3

( )

B.2个

C.3个

D.4个

( )

3

3

D.－3

答案 B

1

解析 ∵S△AOB＝|OA||OB|sin∠AOB

211＝sin∠AOB22π

当∠AOB＝

2S△AOB面积最大.

此时O到AB的距离d＝

2. 2

设AB方程为y＝k(x－2)(k<0)， 即kx－y2k＝0.由d＝

|2k|23

得k＝－.

3k＋123

). 3

(也可k＝－tan∠OPH＝－

4.(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是______. 4答案

3

解析 圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0). 由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2， 即|4k－2|

42

≤2.整理，得3k－4k≤0.解得0≤k≤.

3k＋1

4

故k的最大值是.

3

高

5.已知集合A＝{(x，y)|x－y＋m≥0}，集合B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}.若A∩B＝ ，则实数m的取值范围是________. 答案 m<2

解析 如图，A＝{(x，y)|x－y＋m≥0}表示直线x－y＋m＝0及其右下方 区域，B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}表示圆x2＋y2＝1及其内部，要使A∩B＝ ， |0－0＋m|则直线x－y＋m＝0在圆x2＋y2＝1的下方，，故m<－6.已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a).

(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程. (2)若a＝2，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|＋|BD|的最大值. 解 (1)由条件知点M在圆O上， 所以1＋a2＝4，则a＝3.

当a3时，点M为(1，3)，kOM＝3，k切＝－此时切线方程为y－＝－即x＋3y－4＝0，

3

x－1). 3

3， 3

当a3时，点M为(1，－3)，kOM3，k切＝此时切线方程为y＋3＝

3

(x－1).即x－3y－4＝0. 3

3. 3

所以所求的切线方程为x3y－4＝0或x3y－4＝0. (2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)，

22

则d21＋d2＝OM＝3.

又有|AC|＝24－d1，|BD|＝24－d2， 所以|AC|＋|BD|＝24－d1＋24－d2.

2则(|AC|＋|BD|)2＝4×(4－d1＋4－d22＋24－d14－d2) ＝4×[5＋16－4 d1＋d2 ＋d1d2] ＝4×(5＋4＋d1d2).

9222因为2d1d2≤d21＋d2＝3，所以d1d2≤ 4当且仅当d1＝d2＝

654＋dd≤， 1222

5

所以(|AC|＋|BD|)2≤4×(5＋2×)＝40.

2

所以|AC|＋|BD|≤210，即|AC|＋|BD|的最大值为10.