步步高2015高考数学(人教A理)一轮讲义：9.4直线与圆、圆与圆的位(2)

思维启迪 本题条件M∩N≠ 反映了两个集合所表示的曲线之间的关系，即半圆与圆之间的关系，因此可以直接利用数形结合的思想求解.

解析 因为集合M＝{(x，y)|y＝2a－x，a>0}，

所以集合M表示以O(0,0)为圆心，半径为r12a的上半圆. 同理，集合N表示以O′(13)为圆心，半径为r2＝a的圆上的点. 这两个圆的半径随着a的变化而变化，但|OO′|＝2.如图所示，

高

2a＋a＝2，得a＝2－2； 2a－a＝2，得a＝2＋2. 所以a的最大值为22＋2，最小值为2－2. 答案 2＋2 22－2

温馨提醒 本题主要考查集合的运算及圆与圆相切的相关知识，考查考生综合运用知识解决问题的能力.借助数形结合的思想方法求解本题较为简捷，在求解时要注意对M∩N≠ 的意义的理解，若题中未指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，例如A B，则A＝ 或A≠ 两种可能，应分类讨论.本题的设计亮点就是将集合的关系与圆的位置关系较好地结合起来. 二、圆与线性规划的交汇问题

2x－y＋2≥0，

典例：(5分)如果点P在平面区域 x－2y＋1≤0，

x＋y－2≤0为________.

思维启迪 求解本题应先画出点P所在的平面区域，再画出点Q所在的圆，最后利用几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离的最值问题，即可求出|PQ|的最小值.

上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值

高

2x－y＋2≥0，

解析 由点P在平面区域 x－2y＋1≤0，

x＋y－2≤0

上，画出点P所在的

平面区域.由点Q在圆x2＋(y＋2)2＝1上，画出点Q所在的圆，如 图所示.

由题意，得|PQ|的最小值为圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离减去半径1.

|0－2× －2 ＋1|

又圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝05，此时垂足(－1,0)在满足条件的平面

1＋2区域内，故|PQ|的最小值为5－1. 答案

5－1

温馨提醒 本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考查考生综合应用知识解决问题的能力.本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来，为我们展现了数学知识相互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特殊性.实际上是对数形结合思想的提升，即利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图来解决最值问题. 三、圆与不等式的交汇问题

典例：(5分)(2012·天津)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是 A.[13，1＋3]

B.(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞) C.[2－2，2＋22]

D.(－∞，2－2]∪[2＋22，＋∞)

思维启迪 圆与不等式的交汇实质上反映了圆的独特性质，即圆内点、圆外点的性质，直线与圆相交、相离的性质，圆与圆的相交、相离的性质等，这些问题反映在代数上就是不等式的形式. 解析 圆心(1,1)到直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0(m＋n)2，

所以m＋n≥2＋22或m＋n≤2－2. 答案

D

温馨提醒 直线与圆位置关系的考查，一般是已知位置关系求参数值，基本不等式的考查一般是给出参数关系，利用基本不等式求最值或范围.而本题却以直线与圆的位置关系给出参数之间的数量关系，利用基本不等式转化，结合换元法把关系转化为一元二次不等式，

从而求得m＋n的取值范围，这一交汇命题新颖独特，考查知识全面，难度中等，需要 注意各知识应熟练掌握才能逐一化解.

1

＝1，所以m＋n＋1＝mn≤

4 m＋1 ＋ n＋1 |m＋n|

( )

高

方法与技巧

1.过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法

1

先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为－，由点斜式方程可求切线方程.若切线斜率

k不存在，则由图形写出切线方程x＝x0. 2.过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 (1)几何方法

当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程. (2)代数方法

设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出. 3.两圆公共弦所在直线方程的求法

若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程. 4.圆的弦长的求法

l 222

(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则 2 ＝r－d.

y＝kx＋b， (2)代数法：设直线与圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，解方程组 消y后得关222

x－x ＋ y－y ＝r， 00

于x的一元二次方程，从而求得x1＋x2，x1x2，则弦长为 |AB| 1＋k [ x1＋x2 －4x1x2](k为直线斜率). 失误与防范

1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算.

2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.

高

A组 专项基础训练 (时间：40分钟)

一、选择题

1.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有 A.1条 答案 B

解析 圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.

2.(2012·重庆)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( ) A.相离

B.相切

D.相交且直线过圆心

B.2条

C.3条

D.4条

( )

C.相交但直线不过圆心 答案 C

解析 ∵x2＋y2＝2的圆心(0,0)到直线y＝kx＋1的距离 |0－0＋1|1d＝≤1，

1＋k1＋k又∵r＝2，∴0<d<r.

∴直线与圆相交但直线不过圆心.

3.直线l过点A(2,4)且与圆x2＋y2＝4相切，则l的方程为 A.3x－4y＋10＝0 C.x－y＋2＝0 答案 D

解析 显然x＝2为所求切线之一； 另设y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0， 而|4－2k|

3＝2，k＝，即切线为3x－4y＋10＝0，

4k＋1

B.x＝2

D.x＝2或3x－4y＋10＝0

( )

∴x＝2或3x－4y＋10＝0为所求.

4.(2013·山东)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为

( )

A.2x＋y－3＝0 C.4x－y－3＝0 答案 A

B.2x－y－3＝0 D.4x＋y－3＝0

高

1

解析 如图所示：由题意知：AB⊥PC，kPC＝∴kAB＝－2，∴直线

2AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.

5.已知直线y＝kx＋b与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，当b1＋k →→时，OA·OB等于 A.1

B.2

D.4

( )

C.3

答案 A

解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝kx＋b代入x2＋y2＝1得(1＋k2)x2＋2kbx＋b2－1＝0， b2－12kb故x1＋x2＝－，xx＝

1＋k121＋k→→从而OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2 2k2b22b22＝b－1－b＝－1＝1.

1＋k1＋k2

二、填空题

6.若直线y＝x＋b与曲线y＝34x－x有公共点，则b的取值范围是________. 答案 1－22≤b≤3

解析 由y＝34x－x，得(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3). ∴曲线y＝3－4 …… 此处隐藏：2956字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……