步步高2015高考数学(人教A理)一轮讲义：9.4直线与圆、圆与圆的位

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§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系

设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，

d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.

2.圆与圆的位置关系

设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22 (r2>0).

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件. (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切. (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.

( × ) ( × ) ( × )

(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.

( × )

(5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.

( √ )

(6)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.

( √ )

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2.(2013·安徽)直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为 A.1 B.2 C.4 6 答案 C

( )

解析 圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1,2)到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝1，截得弦长l＝2r－d＝4.

3.圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有 ( ) A.1条 答案 B

解析 ⊙C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4， 圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2.

⊙C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心C2(2,1)，半径r2＝2. ∴|C1C2|13，∴|r1－r2|＝0<|C1C2|<r1＋r2＝4， ∴两圆相交，有两条公切线.

c

4.两圆交于点A(1,3)和B(m,1)，两圆的圆心都在直线x－y＋＝0上，则m＋c的值等于________.

2答案 3

c

解析 由题意，知线段AB的中点在直线x－y＋0上，

2∴

1＋mc

20，∴m＋c＝3. 22

B.2条

C.3条

D.4条

5.若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为__________. 答案 (33)

解析 由圆与直线没有公共点，可知圆的圆心到直线的距离大于半径，也就是<k<3，即k∈(33).

2

>1，解得－3k＋1

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题型一 直线与圆的位置关系

例1 已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12. (1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点； (2)求直线l被圆C截得的最短弦长.

思维启迪 直线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联立而成的方程组解的个数；最短弦长可用代数法或几何法判定.

y＝kx＋1，

方法一 (1)证明 由 22

x－1 ＋ y＋1 ＝12，

消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0， 因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，

所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点. (2)解 设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点， 则直线l被圆C截得的弦长 |AB|1＋k|x1－x2| ＝2

8－4k＋11k＝2

1＋k4k＋311－，

1＋k4k＋32

令t＝，则tk－4k＋(t－3)＝0， 1＋k3

当t＝0时，k＝－，当t≠0时，因为k∈R，

4所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0， 4k＋3故t＝的最大值为4，此时|AB|最小为27.

1＋kk2＋4k＋4

方法二 (1)证明 圆心C(1，－1)到直线l的距离d＝圆C的半径R＝23，R－d＝12－

1＋k1＋k|k＋2|

2

2

11k2－4k＋8

＝S＝11k2－4k＋8中，Δ＝(－4)2－4×11×8<0， 1＋k故11k2－4k＋8>0对k∈R恒成立，

所以R2－d2>0，即d<R，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点. (2)解 由平面几何知识， 知|AB|＝2R－d＝2

8－4k＋11k，下同方法一.

1＋k方法三 (1)证明 因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|＝5<23＝R，所以点P(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P. 所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.

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(2)解 由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦，只有和AC (C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝212－5＝27， 即直线l被圆C截得的最短弦长为7.

思维升华 (1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系； (2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法

.

(1)若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b)

A.在圆上 C.在圆内

B.在圆外 D.以上都有可能

( )

( )

(2)直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是 A.相离 C.相交

B.相切或相交 D.相切

(3)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________. 答案 (1)B (2)C (3)(－13,13) 解析 (1)由

1a＋b>1，∴点P在圆外. a＋b

|k|

<1.故直线与圆相交. 1＋k(2)圆x2＋y2－2y＝0的圆心是(0,1)，半径r＝1，则圆心到直线l的距离d(3)根据题意知，圆心O到直线12x－5y＋c＝0的距离小于1，

∴

|c|

<1，∴|c|<13，

12＋5∴c∈(－13,13).

题型二 圆的切线与弦长问题

例2 已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过M点的圆的切线方程；

(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；

(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值.

思维启迪 在求过某点的圆的切线方程时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在圆上，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线.在处理直线和圆相交所得的弦的弦长问题时，常考虑几何法. 解 (1)圆心C(1,2)，半径r＝2， 当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.

由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知， 此时，直线与圆相切.

当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，

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即kx－y＋1－3k＝0.

|k－2＋1－3k|3

由题意知2，解得k＝.

4k＋13

∴圆的切线方程为y－1＝(x－3)，

4即3x－4y－5＝0.

故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0. |a－2＋4|4

(2)由题意得2，解得a＝0或a. 3a＋1(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为∴(

|a＋2|

23232

)＋(＝4，解得a＝－24a＋1

|a＋2|

a＋1

思维升华 (1)求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在圆上

(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线.

(2)求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来解决问题.

已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.

(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程； …… 此处隐藏：3006字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……