2015年广东文数(精美word版,含答案)(2)

C3) 所以线段 的中点 的轨迹的方程为x+y-3x=0(<x≤

3

2015广东高考数学（文科）

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2015年广东高考文科数学试卷(精美word版,含答案)

法二：设 (x,y)，直线AB的方程为y=mx，A(x1,y1),B(x2,y2)

将y mx代入(x 3) y2 4并整理得(1 m2)x2 6x 5 0,则x1+x2=

6

1+m2

6m

y1+y2=mx1+mx2=m(x1+x2)=

1+m2

x1+x26y1+y23m22

=y==所以x=，22，消去m并整理得x+y-3x=0 21+m21+m

42

由 =36-20(1+m2)=0得m=

5

此时直线l与圆C1相切，切点横坐标x=-

-65

=，

2(1+m2)3

5

3) 所以线段 的中点 的轨迹C的方程为x2+y2-3x=0(<x≤

35

3)中，并整理得 (3)将直线L:y k x 4 代入曲线C:x2+y2-3x=0(<x≤

3

322222222

(1+k)x-(8k+3)x+16k=0.由 =(8k+3)-4(1+k) 16k=0得k=，

4

-(8k2+3)123

此时直线L与曲线C相切，切点横坐标x=-=∈(,3]，此时直线L与曲线C只有一个2

2(1+k)55交点.

5525523)端点D(,曲线C:x2+y2-3x=0(<x≤),E(,-)，直线L恒过定点F(4,0),则

33333

kDF=

22 ,kEF=-77

22，直线L与曲线C也只有一个交点. <k<

77

322或k=，直线L:y k x 4 与曲线C只有一个交点。 <k<

477

2

故当-

综上可知，当-

21.（本小题满分14分）设a为实数，函数f x x a x a a a 1 ．

1 若f 0 1，求a的取值范围；

2 讨论f x 的单调性；

3 当a 2时，讨论f x x在区间 0, 内的零点个数．

解：(1)由f 0 1得 a a a a 1 1

1

1，故0≤a 当a≥0时，不等式为2a≤

2

1恒成立，故a<0 当a<0时，不等式为0≤

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4

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1

综上所述：a

2

2 x (1 2a)x,x a

(2)因为f(x) 2

x (1 2a)x a,x a

-

1-2a

<a，∴f x 在[a,+∞)单调递增 2

-(1+2a)又 ->a，∴f x 在(-∞，a)单调递减。 2

∴f x 在[a,+∞)单调递增，在(-∞，a)单调递减.

4x3 (1 2a)x2 ax 4

0即g(x) x3 (1 2a)x2 ax 4 0 (3)当0<x<a时，f x

xx

(1+2a)-4a2+a+1(1+2a)+4a2+a+1

,x2=g(x)=3x-2(1+2a)x+a=0得x1=

33

'

2

∴0<x1<a<x2， g x 在(0,x1)单调递增，在(x1，a)单调递减.

g(x1)>0,g(a)=-a3+4<0，g(x)在区间 0,a 内有1个零点，即f(x) 个零点。

4

在区间 0,a 内有1x

4x3 (1 2a)x2 4

0即h(x) x3 (1 2a)x2 4 0 当x≥a时，f x

xx

h'(x)=3x2+2(1-2a)x=0得x3=0,x4=

4a-2

3

+∞)单调递增. 若a=2,a=x4， h x 在(a，

h(a)=-a3+a2+4=-(a-2)(a2+a+2)=0，此时h(x)在区间[a, )内有1个零点 若a>2，x3<a<x4

+∞)单调递增. h x 在(a,x4)单调递减，在(x4，

h(a)=-a3+a2+4=-(a-2)(a2+a+2)<0，

4(2a-1)3

h(x4)=x+(1-2a)x+4=-+4<0,h(2a)=4a2+4>0， 27

34

24

此时h(x)在区间[a,x4)内无零点，在(x4，+∞)内有1个零点。

∴h(x)在区间[a, )内有1个零点，即f(x)

4

在区间[a, )内有1个零点。 x

综上所述，当a 2时，f x

4

在区间 0, 内由2个零点. x

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