河北省2011年高考数学一轮复习 2.5对数函数、幂函数 精品导学案(2)

1，解得x1 于是点A

log8）

注：本题是典型的在知识交汇点处的命题，若用传统方法设直线方程，解方程组求交点必然思路受阻，而充分利用函数图象和性质及解析几何的思想方法会使问题迎刃而解。

〖例2〗设A、B是函数y= log2x图象上两点, 其横坐标分别为a和a+4, 直线l: x=a+2与函数y= log2x图象交于点C, 与直线AB交于点D （1）求点D的坐标；

（2）当△ABC的面积大于1时, 求实数a的取值范围 解：（1）易知D为线段AB的中点, 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4))， 所以由中点公式得D(a+2, log2

a(a 4) )

(a 2)2

（2）S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B- S梯形AA′B′B= = log2a(a 4),

其中A′,B′,C′为A,B,C在x轴上的射影

(a 2)2

由S△ABC= log2a(a 4)>1, 得0< a<22－2

（二）幂函数

一、幂函数定义的理解 1、相关链接

（1）根据幂函数的定义，如果f(x)=x是幂函数，则x的系数必须为，且 为常数。 （2）几个具体函数的定义 ①正比例函数y kx(k 0)； ②反比例函数y

k

(k 0,x 0)； x

③一次函数y kx b(k 0)； ④二次函数y ax2 bx c(a 0)； ⑤幂函数y x （ R）

2、例题解析

2-5m-3

〖例1〗已知函数f(x)=(m-m-1)x，m为何值时，f(x)：（1）是正比例函数；（2）是反比例函数；（3）是二次函数；（4）是幂函数。 分析：（1）（2）（3）（4）可根据函数的定义列出等式或不等式求解。

2

解答：（1）若f(x)是正比例函数，则-5m-3=1，解得m=-4/5，此时m-m-1≠0，故m=-4/5。

2

（2）若f(x)是反比例函数，则5m-3=-1，解得m=-2/5，此时m-m-1≠0，故m=-2/5。

2

（3）若f(x)是二次函数，则-5m-3=2，即m=-1，此时m-m-1≠0，故m=-1。

22

（4）∵f(x)是幂函数，故m-m-1=1，此时m-m-2=0，解得m=2或m=-1。 综上所述，（1）当m=-4/5时，f(x)是正比例函数； （2）当m=-2/5时，f(x)是反比例函数； （3）当m=-1时，f(x)是二次函数； （4）当m=2或m=-1时，f(x)是幂函数。 二、幂函数的图象及应用 1、相关链接

幂函数y x 的图象与性质由于 的值不同而比较复杂，一般从三方面考查：

（1） 的正负： >0时，图象过原点和（1，1），在第一象限的图象上升； <0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；

（2）曲线在第一象限的凹凸性： >1时，曲线下凸；0< <1时，曲线上凸； <0时，曲线下凸； （3） =

n

（其中m N，n Z且m,n互质）。 m

①当n为偶数时，f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称； ②当m,n都为奇数时，f(x)为奇函数，其图象关于原点对称；

③当m为偶数，n为奇数时，f(x)为非奇非偶函数，其图象只能在第一象限。 注：幂函数的图象无论 取何实数，其必经过第一象限，且一定不经过第四象限。 2、例题解析

1

〖例1

〗已知点在幂函数f(x)的图象上，点 2 ，在幂函数g(x)的图象上．

4

问当x为何值时有：（１）f(x) g(x)；（２）f(x) g(x)；（３）f(x) g(x)． 分析：由幂函数的定义，先求出f(x)与g(x)的解析式，再利用图象判断即可． 解答：设f(x)

xm，则由题意，得2 m， ∴m 2，即f(x) x2．再令g(x) xn，则由题意，得 ∴n 2，即g(x) x 2(x 0)．在同一坐标系中作出 f(x)与g(x)的图象，如图2所示．由图象可知： （1）当x 1或x 1时，f(x) g(x)；

1

( 2)n， 4

（2）当x 1时，f(x) g(x)；

（3）当 1 x 1且x 0时，f(x) g(x)．

注：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中g(x)的隐含条件x 0．

x2 4x 5

〖例2〗 已知函数f(x) 2

x 4x 4

求f(x)的单调区间；

比较f(

)与f(

的大小 2

解答：（1）方法一：

x2 4x 5f(x) 2=1+(x 2) 2，其图象可由幂函数y x 2向左平移2个单位，再向上平移

x 4x 4

1个单位得到，如图：

所以该函数在( 2, )上是减函数，在( , 2)上是增函数。

x2 4x 5

方法二：f(x) 2=1+(x 2) 2，设在定义域内x1 x2，则

x 4x 4f(x2) f x1 [1 x2 2 ] [1 x1 2 ]

2

2

1

x2 2

2

1

x1 2

2

x1 x2 x1 x2 4

22

x2 2 x1 2

当x1,x2 ， 2 时，f(x2) f(x1) 0,y f(x)在 ， 2 上是增函数，

即增区间为 ， 2 ；

当x1,x2 -2,+ 时，f(x2)-f(x1)<0,y=f(x)在 -2,+ 上是减函数，即减区间为 -2,+ 。（2）∵图象关于直线x 2对称，又∵

2 ( ) 2

( 2)

2 f( ) f 2。 22

三、幂函数中的三类讨论题

所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略． 分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨论．在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幂函数的图象和性质，依据幂函数的单调性分类讨论，使得结果得以实现．

类型一：求参数的取值范围 2m2 m 3

〖例1〗已知函数

f(x) x

(m Z)为偶函数，且f(3) f(5)，求m的值，

并确定f(x)的解析式． 分析：函数

f(x) x

2m2 m 3

2(m Z)为偶函数，

已限定了 2m m 3必为偶数，且m Z，

f(3) f(5)，只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定f(x)的解析式．

2

解：∵f(x)是偶函数，∴ 2m m 3应为偶数．

2m

又∵f(3) f(5)，即3

2

m 3

3

2 5 2m m 3，整理，得 5

2m2 m 3

1

2

，∴ 2m m 3 0，∴

1 m

32．

又∵m Z，∴m 0或1．

22

当m=0时， 2m m 3 3为奇数（舍去）；当m 1时， 2m m 3 2为偶数．

2

f(x) x故m的值为1，．

评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才

可为正确解题奠定坚实的基础． 类型二：求解存在性问题

2

f(x) x例2 已知函数，设函数g(x) qf[f(x)] (2q 1)f(x) 1，问是否存在实数q(q 0)，

使得g(x)在区间

4 ∞，0)上是增函数？若存在，请求出来；若不是减函数，且在区间( 4，

存在，请说明理由．

分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间．

242

f(x) xg(x) qx (2q 1)x 1． 解：∵，则

假设存在实数q(q 0)，使得g(x)满足题设条件， 设

x1 x2

，

2

则

g(

若

1

4

x)

22

(x1 x2)(x2g (x1)[q(x 1 1x2) (2q 1)]． x)

1

x1，x2 ∞， 4

4 ∞，，易知x1 x2 0，x2 x1 0，要使g(x)在上是减函数，则应

22

q(x x) (2q 1) 0恒成立． 12有

22

x 4x≤ 4x x 32．而q 0， 1212∵，，∴22q(x x) 32q.． 12∴

从而要使q(x x) 2q 1恒成立，则有2q 1≥32q，即

2

1

22

q≤

130．

0)，易知(x1 x2)(x2 x1) …… 此处隐藏：2908字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……