河北省2011年高考数学一轮复习 2.5对数函数、幂函数 精品导学案

第二章 函数、导数及其应用 2.5对数函数、幂函数

【高考目标定位】 一、考纲点击 1、对数函数 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。 （3）知道对数函数是一类重要的函数模型。

（4）了解指数函数y=a与对数函数y logax互为反函数（a 0,且a 1）

x

2、幂函数

（1）了解幂函数的概念。

1

（2）结合函数y=x，y=x，y=x，y ，y x2的图象，了解它们的变化情况。

x

2

3

1

二、热点提示 1、对数函数

（1）对数函数在高考的考查中，重点是图象、性质及其简单应用，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论、数形结合及运算能力为主。

（2）以选择、填空的形式考查对数函数的图象、性质；也有可能与其他知识结合，在知识交汇点处命题，以解答形式出现，属中低档题。 2、幂函数

（1）常以5种幂函数为载体，考查幂函数的图象及性质；

（2）多以选择、填空题的形式出现，有时会与其他知识结合在知识交汇点处命题。 【考纲知识梳理】 一、对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义

如果ax N(a 0且a 1)，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作x logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 （2）几种常见对数 表格 1

（1）对数的性质（a 0,且a 1）：

①loga1 0，②logaa 1，③a（2）对数的重要公式： ①换底公式：

logaN

N，④logaa N。

N

logb

N

logaN (a,b均为大于零且不等于1,N 0)； logab

1

，推广logab logbc logcd logad。 logba

②logab

（3）对数的运算法则：

如果a 0,且a 1，M 0,N 0那么 ①

loga(MN) logaM logaN；

loga

M

logaM logaNN；

②

n

logM nlogaM(n R）a③；

④

logambn

n

logabm。

3、对数函数的图象与性质

提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0<c<d<1<a<b. 4、反函数

x

指数函数y=a与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。 二、幂函数

1、幂函数的定义

α

形如y=x（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 2、幂函数的图象

注：在上图第一象限中如何确定y=x，y=x，y=x，y x，y=x方法：可画出x=x0；

3

2

-1

12

当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x，y=x， y=x，y x， y=x；

3

2

-1

12

当0<x0<1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x，y x ，y=x， y=x，y=x 。

-1

2

3

12

3、幂函数的性质

【热点难点精析】 （一）对数函数

一、对数的化简与求值

对数的化简与求值的基本思路

利用换底公式及，尽量地转化为同底的和、差、积、商运算；

利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算； 约分、合并同类项，尽量求出具体值。 〖例1〗计算

（1）(lg2)2

lg2 lg50 lg25；（2）

(log32 log92) (log43 log83)；lg5 lg8000 (lg23)2

（3）lg600 12lg0.036 1

2lg0.1

解：（1）原式

(lg2)2 (1 lg5)lg2 lg52 (lg2 lg5 1)lg2 2lg5 (1 1)lg2 2lg5 2(lg2 lg5) 2；

(

lg2（lg3 lg2lg9) (lg3lg4 lg3lg2lg2lg3lg3

2）原式

lg8) (lg3 2lg3) (2lg2 3lg2)

3lg22lg3 5lg36lg2

5

4；

（3）分子=

lg5(3 3lg2) 3(lg2)2

3lg5 3lg2(lg5 lg2) 3； (lg6 2) lg

361000 110 lg6 2 lg6

100 4分母=

；

3

原式=4。

二、比较大小 1、相关链接

（1）比较同底的两个对数值的大小，可利用对数函数的单调性来完成。 ①a>1,f(x)>0.g(x)>0,则logaf(x)>logag(x) f(x)>g(x)>0; ②0<a<1,f(x)>0,g(x)>0,则logaf(x)>logag(x) 0<f(x)<g(x)

（2）比较两个同真数对数值的大小，可先确定其底数，然后再比较。 ①若a>b>1，如图1.

当f(x)>1时，logbf(x)>logaf(x); 当0<f(x)<1时，logaf(x)> logbf(x).

②若1>a>b>0,如图2。

当f(x)>1时，logbf(x)> logaf(x); 当1>f(x)>0时，logaf(x)> logbf(x). ③若a>1>b>0。

当f(x)>1时，则logaf(x)> logbf(x); 当0<f(x)<时，则logaf(x)<logbf(x). （3）比较大小常用的方法

①作差（商）法；②利用函数的单调性；③特殊值法（特别是1和0为中间值） 2、例题解析

〖例〗对于0 a 1，给出下列四个不等式：

1a1

②loga(1 a) loga(1 )；

a

①loga(1 a) loga(a ); ③a④a

1 a

a

1

1a1a

;

;其中成立的是（ ）

1 a

a

1

（A）①与③（B）①与④（C）②与③（D）②与④

分析：从题设可知，该题主要考查y logax与y ax两个函数的单调性，故可先考虑函数的单调性，再比较大小。

1 1111 a

解答：选D。∵0<a<1,∴a<,1+a<1+,∴loga(1 a) loga(1 ),a aa;即②④正

aaa

1

确。

三、对数函数性质应用 1、相关链接 （1）对数函数的性质是每年高考必考内容之一，其中单调性和对数函数的定义域是热点问题。其单调性取决于底数与“1”的大小关系。

（2）利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”。即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决。 （3）与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 ①确定定义域；

②弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x)

③分别确定这两个函数的单调区间；

④若这两个函数同增或同减，则y=f(g(x))为增函数，若一增一减，则y=f(g(x))为减函数，即“同增异减”。 2、例题解析

〖例〗设函数f x 1 x 2ln 1 x .

2

(1)求f x 的单调区间;

1 x 1,e 1

e 时,(其中e 2.718 )不等式f x m恒成立,求实数m的取值范(2)若当

围;

(3)试讨论关于x的方程:f x x x a在区间 0,2 上的根的个数.

2

1 2x x 2

f x 2 x 1 1, ,x 1x 1. 1分 解 （1）函数的定义域为

由f x 0得x 0;

2分

由f x 0得 1 x 0, 3分

则增区间为 0, ,减区间为 1,0 .

4分

(2)令

f x

1 2x x 2 1,0 0, fxex 0 上递减,在 0,e 1 上递增, x 1得,由(1)知在

6分

1 11f 1 2 2,e2 2 2 22

f e 1 e 2, …… 此处隐藏：2695字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……