2016-2017学年八年级（上）期中数学试卷(4)

（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

【解答】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∵∠BQD=30°， ∴∠QPC=90°，

设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x， ∴QC=QB+BC=6+x，

∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，

∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2， ∴AP=2；

（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下： 作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF， 又∵PE⊥AB于E， ∴∠DFQ=∠AEP=90°， ∵点P、Q速度相同，

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∴AP=BQ，

∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°， 在△APE和△BQF中， ∵∠AEP=∠BFQ=90°， ∴∠APE=∠BQF，

，

∴△APE≌△BQF（AAS）， ∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF， ∴四边形PEQF是平行四边形， ∴DE=EF， ∵EB+AE=BE+BF=AB， ∴DE=AB，

又∵等边△ABC的边长为6， ∴DE=3，

∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．

24．在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC边上一点，BN⊥AD交AD的延长线于点N．

（1）如图1，若CM∥BN交AD于点M．

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①直接写出图1中所有与∠MCD相等的角： ∠CAD，∠CBN ；（注：所找到的相等关系可以直接用于第②小题的证明过程

②过点C作CG⊥BN，交BN的延长线于点G，请先在图1中画出辅助线，再回答线段AM、CG、BN有怎样的数量关系，并给予证明．

（2）如图2，若CM∥AB交BN的延长线于点M．请证明：∠MDN+2∠BDN=180°． 【解答】解：（1）①∵CM∥BN，BN⊥AN， ∴∠CMD=∠N=90°，∠MCD=∠CBN， ∵∠ACB=90°，

∴∠ACM+∠CAD=90°，∠MCD+∠ACM=90°， ∴∠MCD=∠CAD， 故答案为∠CAD、∠CBN．

②在图1中画出图形，如图所示，

结论：AM=CG+BN，

证明：在△ACM和△BCG中，

，

∴△ACM≌△BCG， ∴CM=CG，AM=BG， ∵∠CMN=∠MNG=∠G=90°， ∴四边形MNGC是矩形， ∴CM=GN=CG，

∴AM=BG=BN+GN=BN+CG．

（2）过点C作CE平分∠ACB，交AD于点E．

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∵在△ACD和△BDN中，∠ACB=90°，AN⊥ND ∴∠4+∠ADC=90°=∠5+∠BDN 又∵∠ADC=∠BDN ∴∠4=∠5，

∵∠ACB=90°，AC=BC，CE平分∠ACB， ∴∠6=45°，∠2=∠3=45° 又∵CM∥AB，

∴∠1=∠6=45°=∠2=∠3， 在△ACE和△BCM中，

，

∴△ACE≌△BCM（ASA） ∴CE=CM

又∵∠1=∠2，CD=CD ∴∠CDE=∠CDM

又∵∠BDN=∠CDE，∠MDN+∠CDE+∠CDM=180° ∴∠MDN+2∠BDN=180°．

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