2016-2017学年八年级（上）期中数学试卷(3)

20．如图，一艘轮船以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得小岛C在北偏东75°方向上，两小时后，轮船在B处测得小岛C在北偏东60°方向上，在小岛周围15海里处有暗礁，若轮船仍然按18海里/时的速度向东航行，请问是否有触礁危险？并说明理由．

【解答】解：作CE⊥AB于E， ∵A处测得小岛P在北偏东75°方向， ∴∠CAB=15°，

∵在B处测得小岛P在北偏东60°方向， ∴∠ACB=15°，

∴AB=PB=2×18=36（海里）， ∵∠CBD=30°， ∴CE=BC=18＞15，

∴船不改变航向，不会触礁．

21．如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC，分别以BC和AC为直角边向上作等腰直角三角形△BCD和△ACE，AE与BD相交于点F，连接CF并延长交AB于点G．求证：CG垂直平分AB．

【解答】证明：∵CA=CB ∴∠CAB=∠CBA

∵△AEC和△BCD为等腰直角三角形， ∴∠CAE=∠CBD=45°，∠FAG=∠FBG， ∴∠FAB=∠FBA，

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∴AF=BF，

在三角形ACF和△CBF中，

，

∴△AFC≌△BCF（SSS）， ∴∠ACF=∠BCF

∴AG=BG，CG⊥AB（三线合一）， 即CG垂直平分AB．

22．如图，在等边△ABC中，点F是AC边上一点，延长BC到点D，使BF=DF，若CD=CF，求证： （1）点F为AC的中点；

（2）过点F作FE⊥BD，垂足为点E，请画出图形并证明BD=6CE．

【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵CF=CD， ∴∠CFD=∠D，

∴∠ACB=2∠D，即∠D=∠ACB=30°， ∵FB=FD，

∴∠FBD=∠D=30°， ∴BF平分∠ABC，

∴AF=CF，即点F为AC的中点； （2）如图，

在Rt△EFC中，CF=2CE， 而CD=CF， ∴CF=2CE，

在Rt△BCF中，BC=2CF，

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∴BC=4CE， ∴BD=6CE．

23．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D． （1）当∠BQD=30°时，求AP的长；