备战2013高考数学理 考前30天冲刺 专题04 函数与导数（下）（教(3)

【押题10】已知函数f (x)＝x3＋

32(1－a)x2－3ax＋1，a＞0．

（1）证明：对于正数a，存在正数p，使得当x∈[0，p]时，有－1≤f (x)≤1； （2）设（1）中的p的最大值为g(a)，求g(a)的最大值．

此时，g(a)≤1．综上所述，g(a)的最大值为3．

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名师押题理由：本题综合性较强，属于含参问题中的最值问题，具体考点如下： 1、导数的基本运算；2、利用导数判定函数的单调性；3、导数与极值、最值的关系； 4、一元二次方程的解法；5、函数与集合的基本思想.

【名校试题精选】

【模拟训练1】已知函数f (x)=

13x3+(a+2)x2+ax，x∈R,a∈R.

21（1）若f ′(0)=－2，求函数f (x)的极值；

（2）若函数f (x)在(1,2)上单调递增，求a的取值范围.

f极大(x)?f(?2)?432,f极小(x)?f(2)??432；??????????7分

（2）若函数?(x)在（1,2）上单调递增，则?/(x)=x2+(a+2)x+a≥0在x?（1，2）上恒成立，

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【深度剖析】

名校试题2012-2013山东省名校联盟高三上学期模拟测试卷 难度系数：★★★ 综合系数：★★★★★

名师思路点拨：（1）先求出a，在利用导数法列表求出极值；（2）使用分离变量法可以得到

a??x?2xx?12在(1，2)上恒成立，转而去求右式的最值问题.

【模拟训练2】已知函数f(x)?ax?lnx. （I）讨论函数f（x）单调性； （Ⅱ）当a??18,0?t?2时，证明：曲线y?f(x)与其在点P(t,f(t))处的切线至少有两

2个不同的公共点．

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【深度剖析】

名校试题2012-2013河北省唐山市高三上学期期末考 难度系数：★★★★ 综合系数：★★★★★

名师思路点拨：（1）先求出函数的导数，对参数a进行讨论得到函数的单调性；（2）构造函数“g(x)＝f(x)－[f?(t)(x－t)＋f(t)]”，可以确定g (t)＝0；再通过讨论g(x)的单调性可以证明“在区间(2，2t＋

【模拟训练3】已知函数f(x)?12ax?2x，g(x)?lnx.

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)至少存在一个实数x0＞2，使g(x0)＝0．” t

（1）如果函数y?f(x)在[1,??)上是单调减函数，求a的取值范围； （2）是否存在实数a?0，使得方程

g(x)x1?f?(x)?(2a?1)在区间(,e)内有且只有两个不

e相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

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1?H()?0,?e?1H(x)在(,e)内有且只有两个不相等的零点, 只需?H(x)min?0,…………13分

e?H(e)?0,??2??ae?e1?2a(1?2a)e?a?ea?,??1??0,??222e?1eee????即?H(1)?a?(1?2a)?1?a?0, ∴?a?1,

??221?eae?(1?2a)e?1?(e?2e)a?(e?1)?0,?a?2?,e?2e????2解得1?a?

e?e2e?12, 所以a的取值范围是(1,e?e2e?12) ． …………………14分

【深度剖析】

名校试题2012-2013广东省珠海市高三上学期期末考 难度系数：★★★★★

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