高中数学立体几何真题试题大全(4)

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∴异面直线A1B与B1C所成角的大小为arccos

9 ……12分 25[解法二]以D为坐标原点,DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系. ……2分 则A1(4,0,3) 、B(4,4,0) 、B1(4,4,3) 、C(0,4,0), 得A1B=(0,4,-3),B1C=( -4,0,-3) ……6分 设A1B与B1C的夹角为θ, cosθ=A1B?B1CA1B?B1C=

9 ……10分 259 25∴异面直线A1B与B1C所成角的大小为arccos

(06文)在直三棱柱ABC?ABC中，?ABC?90,AB?BC?1. （1）求异面直线B1C1与AC所成的角的大小；

（2）若A1C与平面ABCS所成角为45，求三棱锥A1?ABC的体积

解：(1) ∵BC∥B1C1, ∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角) ∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°, ∴异面直线B1C1与AC所成角为45°. (2) ∵AA1⊥平面ABC,

∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角, ∠ACA =45°.

∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC=2, ∴AA1=2.

∴三棱锥A1-ABC的体积V=

61S△ABC×AA1=.

23??(06理)在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．

（1）求四棱锥P－ABCD的体积；

（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所（结果用反三角函数值表示）

[解]（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,

∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, 在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由于是,PO=BOtg60°=3,而底面菱形的面

∴四棱锥P-ABCD的体积

A B E O D C P 成角的大小得

∠PBO=60°. PO⊥BO, 积为23.

1V=×23×3=2.

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（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、

OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立 空间直角坐标系.

在Rt△AOB中OA=3,于是,点A、B、 D、P的坐标分别是A(0,－3,0), B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, E是PB的中点,则E(

3).

3313,0,) 于是DE=(,0, ),AP=(0, 3,3).

22223222?设DE与AP的夹角为θ,有cosθ=,θ=arccos, 4493??3?344∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos 解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.

由E是PB的中点,得EF∥PA， ∴∠FED是异面直线DE与PA所成 角(或它的补角)，

在Rt△AOB中AO=ABcos30°=3=OP， 于是, 在等腰Rt△POA中， PA=6，则EF=

2； 46. 2在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=3，

16EF22?4= cos∠FED=

DE43∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos

(07春)如图，在棱长为2的正方体ABCD?A?B?C?D?中，求异面直线A?FE、F分别是A?B?和AB的中点，

与CE所成角的大小 (结果用反三角函数值表示）

[解法一] 如图建立空间直角坐标系. …… 2分 由题意可知A?(2,0,2),C(0,2,0),E(2,1,2),F(2,1,0). ?A?F?(0,1,2. 4?2),CE?(2,?1,2). …… 6分

设直线A?F与CE所成角为?，则

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?? cosA?F?CEA?F?CE?55?3?5. …… 10分 35 ???arccos，

35. …… 12分 3[解法二] 连接EB， …… 2分

即异面直线A?F与CE所成角的大小为arccos ?A?E//BF，且A?E?BF，?A?FBE是平行四边形，则A?F//EB， ? 异面直线A?F与CE所成的角就是CE与EB所成的角. …… 6分 由CB?平面ABB?A?，得CB?BE. 在Rt△CEB中，CB?2, tan?CEB?BE?5，则

25， …… 10分 525. 525. 5? ? ?CEB?arctan? 异面直线A?F与CE所成角的大小为arctan(07文)在正四棱锥P?ABCD中，PA?2，直线PA与平面ABCD所成的角为60，求 正四棱锥P?ABCD的体积V．

解：作PO?平面ABCD，垂足为O．连接AO，O是 正方形ABCD的中心，?PAO是直线PA与平面 ABCD所成的角．

P

D C

?PAO＝60，PA?2．? PO?3．

AO?1，AB??2，

A B

1123 ?V?POSABCD??3?2?．

3334317．解： 由题意，得cosB?，B为锐角，sinB?，

55 sinA?sin(π?B?C)?sin? 由正弦定理得 c??3π?72， ?B??410??10， 7121048??． 757? S?acsinB??2?12 word完美格式

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(07理) 如图，在体积为1的直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?90,?AC?BC?1．求直线A1B与

平面BB1C1C所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 解法一： 由题意，可得体积

V?CC1S△ABC?CC111ACBC?CC1?1， 22 ? AA1?CC1?2．

连接BC1．

AC11?B1C1，AC11?CC1，

?A1C1?平面BB1C1C，

??A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角． BC1?CC1?BC2?5，

2?A1BC1? ?tanA1C115?，则 ?A1BC1＝arctan． BC1555． 5z 11ACBC?CC1?1， 22 C1 B1 即直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arctan解法二： 由题意，可得 体积V?CC1S?ABC?CC1 ?CC1?2，

如图，建立空间直角坐标系． 得点B(0，1，0)， 1，?2)， C1(0，，02)，A1(1，，02)． 则A1B?(?1，00)． 平面BB1C1C的法向量为n?(1，，A1x AC B y

设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为?，A1B与n的夹角为?， 则cos??A1BnA1Bn??666,??arcsin， ?sin??|cos?|?，

6666． 6 即直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arcsin word完美格式

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4317．解： 由题意，得cosB?，B为锐角，sinB?，

55 sinA?sin(π?B?C)?sin? 由正弦定理得 c??3π?72， ?B???4?1010111048， ? S?acsinB??2???．

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