高中数学立体几何真题试题大全(2)

来源：网络收集时间：2026-09-05

导读： . . OA=√3。求：（１）二面角Ｏ１－ＡＢ－Ｏ大小；（２）异面直线Ａ１Ｂ与ＡＯ１所成角的大� � （上述结果用反三角函数值表示） [解] （1）取OB的中点D，连结O1D，则O1D⊥OB。 ∵平面OBB1O1⊥平面OAB， ∴O1D⊥

. .

OA=√3。

求：（１）二面角Ｏ１－ＡＢ－Ｏ大小；

（２）异面直线Ａ１Ｂ与ＡＯ１所成角的大小。（上述结果用反三角函数值表示）

[解] （1）取OB的中点D，连结O1D，则O1D⊥OB。 ∵平面OBB1O1⊥平面OAB， ∴O1D⊥平面OAB

过D作AB的垂线，垂足为E，连结O1E，则O1E⊥AB。 ∴∠DEO1为二面角O1-AB-O的平面角。由题设得O1D=√3， ∴DE=DBsin∠OBA=√21/7. ∵在Rt△O1DE中，tg∠DEO1=√7,

∴∠DEO1=arctg√7.即二面角O1-AB-O的大小为arctg√7.

(2)以O点为原点，分别以OA、OB所在直线为x、y轴、过O点且与平面AOB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则

O（0，0，0），O1（0，1，√3），A（√3，0，0），A1（√3，1，√3），B（0，2，0）。设异面直线A1B与AO1所成角为α，

?A'B'O'中，OO'?4，OA?4,OB?3,?AOB?90(02)如图，在直三棱柱ABO，D是线段A'B'的

O’ A’ AOB所成角的?BD中点，P是侧棱BB'上的一点，若OP，求OP与底面 D 大小。（结果用反三角函数值表示）

B’ [解法一]

如图,以O点为原点建立空间直角坐标系

3(3,0,0),D(,2,4) 由题意，有B P O A 2 B word完美格式

?. .

设P(3,0,z)，则

3 BD?{?,2,4},OP?{3,0,z}2因为BD ?OP9 BD?OP???4z?029z?

8因为BB'?平面AOB

是OP与底面AOB所成的角 ?POBtg?POB?38 z O’ A’ D B’ P O A y B x

3??POB?arctg8

[解法二]取O'B'中点E，连结DE、BE，则平面OBB'O' DE? 是BD在平面OBB'O'内的射影。 ?BE 又因为OP ?BD 由三垂线定理的逆定理，得OP ?BE 在矩形OBB 'O'中，易得Rt?OBP~Rt?BB'E

O’ A’ E D B’ P O A B BPOB9??,得BP? B'EBB'8（以下同解法一）

(03春)已知三棱柱ABC?A1B1C1，在某个空间直角坐标系中， A1 B1 m3mAB?{,?,0},AC?{m,0,0},AA1?{0,0,n}. 其中m,n?0 C

22(1) 证明：三棱柱ABC?A1B1C1是正三棱柱； A B (2) 若m?（2）

2n，求直线CA1与平面A1ABB1所成角的大小.

? 4(03)已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积. [解]连结BD，因为B1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD.

在△BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=23.

又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，所以

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. .

∠B1DB=30°，于是BB1=

13BD=2.

故平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积为SABCD·BB1=83. (04春)如图,点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点,PM⊥BB1交AA1于点M,PN⊥BB1交CC1于点N. (1) 求证：CC1⊥MN;(6分)

(2) 在任意△DEF中有余弦定理：

DE2=DF2+EF2－2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间,类比三角形的理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面的关系式,并予以证明.(8分)

证明：(1) ∵CC1∥BB1, ∴CC1⊥PM, CC1⊥PN,且PM、PN相交于点P,

∴CC1⊥平面PMN. ∵MN?平面PMN, ∴CC1⊥MN. 解：(2)在钭三棱柱ABC-A1B1C1中,有 SABB1A1=SBCC1B1+SACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cosα

其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所组成的二面角

∵ CC1⊥平面PMN,

∴平面CC1B1B与平面CC1A1A所组成的二面角为∠MNP …

在△PMN中,PM2=PN2+MN2－2PN·MNcos∠MNP, PM2·CC1= PN2·CC1+ MN2·CC1－2(PN·CC1)(MN·CC1) cos∠MNP 由于SBCC1B1= PN·CC1, SACC1A1= MN·CC1, SABB1A1=PM·BB1及CC1=BB1, 则SABB1A1=SBCC1B1+SACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cosα (04)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省? 【解】由题意得

分别为x、y(单面积8cm2. 问

222222余弦定角之间

222x28?124=8?x(0

x4x4

于定, 框架用料长度为 l=2x+2y+2( 当(

2316x)=(+2)x+≥46?42. 22x316+2)x=,即x=8－42时等号成立. 2x 此时, x≈2.343,y=22≈2.828.

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故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省.

(05春)已知正三棱锥P?ABC的体积为723，侧面与底面所成的二面角的大小为60?. （1）证明：PA?BC；

（2）求底面中心O到侧面的距离

[证明]（1）取BC边的中点D，连接AD、PD，则AD?BC，PD?BC，故BC?平面. …… 4分 APDA ∴

PCO分 PA?BC. …… 6B [解]（2）如图，由（1）可知平面PBC?平面APD，则?PDA是侧面与底面所成二面角的平面角.

过点O作OE?PD,则OE就E为垂足，

是点O到侧

面的距离. …… 9分

设OE为h，由题意可知点O在AD上，

∴ ?PDO?60?，OP?2h.

?OD?2h3,?BC?4h, …… 11分

3(4h)2?43h2， 41833 ∵ 723??43h2?2h?h，∴ h?3.

33 即底面中心O到侧面的距离为3.

(05文)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是BB1和BC的中点,AB=4,AD=2.B1D与平面ABCD所成角的大小为60°,求异面直线B1D与MN所成角的大小.(结果用反三角函数值表示) [解]联结B1C,由M、N分别是BB1和BC的中点,得B1C∥MN, ∴∠DB1C就是异面直线B1D与MN所成的角. …… 此处隐藏：1117字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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