2019届高考数学第三轮复习精编模拟五(4)

直线MN的斜率为kMN12yM?yNk2?1k，其方程为 ???1xM?xNkk?kk2?k2?1y?2k?1?(x?2k)，整理得k(y?3)?(k2?1)x，………………13分

k显然，不论k为何值，点(0,3)均满足方程，

∴直线MN恒过定点(0,3)．……………………14分

2

21.解：（Ⅰ）当n＝1时，D1为Rt△OAB1的内部包括斜边，这时a1?3， 当n＝2时，D2为Rt△OAB2的内部包括斜边，这时a2?6 当n＝3时，D3为Rt△OAB3的内部包括斜边，这时a3?9，

，……， ---3分

由此可猜想an＝3n。 --------------------------------------------------4分 下面用数学归纳法证明: (1) 当n＝1时，猜想显然成立。

(2) 假设当n＝k时，猜想成立，即ak?3k，（k?N?） ----5分 如图，平面区域Dk为Rt?OABk内部包括斜边、平面区域Dk?1为 Rt△OABk?1内部包括斜边，∵平面区域Dk?1比平面区域Dk多3 个整点， ------- 7分

即当n＝k+1时，ak?1?3k?3?3(k?1)，这就是说当n＝k+1时， 猜想也成立，

由（1）、（2）知an＝3n对一切n?N?都成立。 ---------------------8分 （Ⅱ）∵an＝3n, ∴数列?an?是首项为3，公差为3的等差数列,

∴Sn?n(3?3n)3n(n?1). ?2212211??(?) -------------------------10分 Sn3n(n?1)3nn?1?Tn?11??S1S2?12111?[(1?)?(?)?Sn322311(?)] nn?1

=

2n21 -------------------------------11分 (1?)=

3n?13(n?1)∵对一切n?N?，Tn?m恒成立, ∴m?(Tn)min

21211(1?)在[1,??)上为增函数 ∴(Tn)min?(1?)? ---13分 ∵Tn?3n?1?m?13，满足m?13的自然数为0，

∴满足题设的自然数m存在，其值为0。 323分

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