2010年陕西高考数学理科卷带详解(5)

将④，⑤代入上式并化简得

(1?k2)(4m2?12)?8k2m2?m2(3?4k2)?0 ⑥ 将m?1?k代入⑥并化简得?5(k2?1)?0，矛盾 即此时直线l不存在（步骤3）

22????（ⅱ）当l垂直于x轴时，满足|OP|?1的直线l的方程为x=1或x=?1，

当x=1时，A,B,P的坐标分别为(1,),(1,?),(1,0)，

?????3???3∴AP?(0,?),PB?(0,?)，

22????????9∴AP?PB??1（步骤4）

4????????当x=?1时，同理可得AP?PB?1，矛盾

即此时直线l也不存在

3232????????综上可知，使AP?PB?1成立的直线l不存在（步骤5）

21、(本小题满分14分)

已知函数f(x)?x,g(x)?alnx,a?R

（Ⅰ）若曲线y?f(x)与曲线y?g(x)相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和

该切线方程；

（Ⅱ）设函数h(x)?f(x)?g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值?(a)的解析式； （Ⅲ）对（Ⅱ）中的?(a)和任意的a?0,b?0，证明：

??(a?b??(a)???(b))剟22??(2ab) a?b【测量目标】利用导数求最值、导数的几何意义、利用导数解决不等式. 【考查方式】给出两个函数表达式，综合运用导数考查. 【难易程度】较难 【试题解析】（Ⅰ）f?(x)?12x,g?(x)?a(x?0)， x?x?alnx,e?a?,x?e2，由已知得?1 解得（步骤1） a2?,?x?2x∴ 两条直线交点的坐标为(e2,e)，切线的斜率为k?f?(e)?∴ 切线的方程为y?e=（Ⅱ）由条件知h(x)?∴ h?(x)?21， 2e1(x?e2)（步骤2） 2ex?alnx(x?0), ?a?xx?2a 2x212x（ⅰ）当a＞0时，令h?(x)?0，解得x?4a，

∴ 当0?x?4a时，h?(x)?0,h(x)在(0,4a2)上递减； 当x?4a时，h?(x)?0,h(x)在(4a2,??)上递增

∴x?4a是h(x)在(0,??)上的唯一极值点，从而也是h(x)的最小值点 ∴最小值?(a)?h(4a2)?2a?aln4a2?2a(1?ln2a)（步骤3） （ⅱ）当a?0时，h?(x)?222a?2a?0,h(x)在(0,??)上递增，无最小值， 2x故h(x)的最小值?(a)的解析式为?(a)?2a(1?ln2a)(a?0)（步骤4）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知??(a)??2ln2a

对任意的a?0,b?0

2ln2a?2ln2b??ln4ab ①

22a?ba?b??()??2ln(2?)??ln(a?b)2??ln4ab ②

22????(a)???(b)??(2ab2ab4ab)??2ln(2?)…?2ln??ln4ab ③ a?ba?b2aba?b??(a)???(b))剟22教师王新敞 wxckt@126.com 故由①②③得??(??(2ab)（步骤5） a?b