2010年陕西高考数学理科卷带详解(4)

【试题解析】 由题意知AB=（海里， 53+3）∠DBA=90°=30°，∠ DAB=90°=45°，∴∠ADB=180°+30°）=105°，在△ADB?60°?45°?（45°中，有正弦定理得

DBAB?

sin?DABsin?ADBAB?sin?DAB5(3?3)?sin45?5(3?3)?sin45? DB????????sin?ADBsin105sin45cos60?cos45sin60=

53(1?3)?103（海里）（步骤1） 又

(1?3)2?DBC??DBA??ABC?30??(90??60?)?60?,BC?203海里，

在△DBC中，由余弦定理得

CD2?BD2?BC2?2BD?BC?cos?DBC

= 300?1200?2?103?203?1?900 230?CD?30（海里）?1（小时）.（步骤2） ，则需要的时间t?30答：救援船到达D点需要1小时. 18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 2，E，F分别是AD，PC的中点 （Ⅰ）证明：PC ⊥平面BEF；

（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小.

第18题图

【测量目标】线面垂直、二面角 .

【考查方式】给出底面是矩形的四棱锥，通过条件证明线面垂直及求二面角. 【难易程度】容易

【试题解析】解法一： （Ⅰ）如图，以A为坐标原点，

AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系. ∵ AP?AB?2,BC?AD?22，四边形ABCD是矩形

∴ A,B,C,D,P的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,22,0),D(0,22,0),P(0,0,2) 又E,F分别是AD,PC的中点， ∴ E(0,2,0),F(1,2,1)（步骤1）

????????????∴ PC?(2,22,?2),BF?(?1,2,1),EF?(1,0,1), ????????????????∴ PC?BF??2?4?2?0,PC?EF?2?0?2?0, ????????????????∴ PC?BF,PC?EF,（步骤2） ????????????????∴PC?BF,PC?EF,BF?EF?F,

∴ PC?平面BEF（步骤3）

第18题图

????（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面BEF的法向量n1?PC?(2,22,?2),

????平面BAP的法向量n2?AD?(0,22,0)，

∴ n1?n2=8（步骤4）

设平面BEF与平面BAP的夹角为θ， 则cos??|cos(n1,n2)|??|n1?n2|82， ??|n1||n2|4?222?∴ ??45，∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45（步骤5） 解法二：

（Ⅰ）连接PE,EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，

PA=AB=CD,AE=DE,

∴ PE=CE,即△PEC是等腰三角形， 又F是PC的中点，∴EF⊥PC，（步骤1） 又BF?AP2?AB2?22?BC,F是PC的中点，

∴BF?PC

又BF?EF?F,?PC?平面BEF（步骤2） （Ⅱ）∵ PA⊥平面ABCD, ∴ PA⊥BC,

又ABCD是矩形，∴ AB⊥BC, ∴ BC⊥平面BAP，BC⊥PB, 又由（Ⅰ）知PC⊥平面BEF,

∴ 直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角， 在△PBC中，PB=BC, ?PBC?90, ?PCB?45 所以平面BEF与平面BAP的夹角为45（步骤3） 19 （本小题满分12分）

为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：

[来源:www ???

（Ⅰ）估计该校男生的人数；

（Ⅱ）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；

（Ⅲ）从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm之间的概率.

【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征 【考查方式】利用柱状图考查 【难易程度】中等

【试题解析】（Ⅰ）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400人.（步骤1）

（Ⅱ）由统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170~180cm之间的概率P=0.5（步骤2）

（Ⅲ）样本中女生身高在165~180cm之间的人数为10，身高在170~180cm之间的人数为4，

设A表示事件“从样本中身高在165~180cm之间的女生中任取2人，至少有1人身高在170~180cm之间”，

212C6C1226?C4?C4则P(A)?1?2?（或P(A)?）（步骤3） ?2C103C103hua.net]20.（本小题满分13分）

x2y2如图，椭圆C:2?2?1的顶点为A1,A2,B1,B2，焦点为F1,F2, |A1B1|?7，

abS?A1B1A2B2?2S?B1F1B2F2

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于F点、与椭圆相交于A,B亮点的直线，

????????????|OP|=1，是否存在上述直线l使AP?PB?1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，

请说明理由.

第20题图

【测量目标】椭圆的标准方程，直线和圆的位置关系. 【考查方式】利用直线与椭圆的位置关系综合考查. 【难易程度】较难 【试题解析】（Ⅰ）

由|A1B1|?7知a?b?7， ①

22由S?A1B1A2B2?2S?B1F1B2F2知a?2c， ② 又 b2?a2?c2， ③ 由①②③解得a2?4,b2?3，

故椭圆C的方程为x2y24?3?1（步骤1） A，B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，

假设使???AP?????PB??1成立的直线l存在，

（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y?kx?m，

由l与n垂直相交于P点且|???OP?|=1得

|m|21?k2?1，即m?k2?1

∵???AP?????PB??1，|???OP?|=1，

∴???OA?????OB??(???OP????PA??)?(???OP?????PB?)

= ???OP?2????OP?????PB????PA??????OP????PA??????PB?

= 1+0+0?1=0, 即x1x2?y1y2?0（步骤2） 将y?kx?m代入椭圆方程，得

(3?4k2)x2?8kmx?(4m2?12)?0

由求根公式可得x1?x?8km2?3?4k2， x4m2?121x2?3?4k2 0?x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?m)(kx2?m)

= x221x2?kx1x2?km(x1?x2)?m = (1?k2)x1x2?km(x1?x2)?m2

④

⑤（Ⅱ）设