高二数学-2015-2016学年高二上学期期初数学试卷(2)(5)

即函数

在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．

由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减， ∴

，∴

，

∵，∴；

②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增， ∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0， ∴a≤﹣2，

③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0， ∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2 此时不存在x0使h（x0）≤0成立． 综上可得所求a的范围是：

或a≤﹣2．

【点评】本题考查函数的导数的综合应用，曲线的切线方程函数的单调性以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题得到能力．

20．已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn=nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11． （1）求a1的值；

（2）求数列{an}的前n项和Sn； （3）设数列{bn}满足bn=

，求证：b1+b2+…+bn＜

．

【考点】数列的求和；数列递推式． 【专题】等差数列与等比数列．

【分析】（1）由已知得S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1），a2=11，由此能求出a1．

（2）当n≥2时，由an=Sn﹣Sn﹣1，得an=nan﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）an﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），从而得到数列{an}是首项a1=5，公差为6的等差数列，由此能求出数列{an}的前n项和Sn．

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（3）由=（），由此

能证明b1+b2+…+bn＜

．

【解答】解：（1）∵Sn=nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11． ∴S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1）， ∵a2=11，解得a1=5．

（2）当n≥2时，由an=Sn﹣Sn﹣1，

得an=nan﹣3n（n﹣1）﹣[（n﹣1）an﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2）]， ∴（n﹣1）an﹣（n﹣1）an﹣1=6（n﹣1）， ∴an﹣an﹣1=6，n≥2，n∈N*，

∴数列{an}是首项a1=5，公差为6的等差数列， ∴an=a1+6（n﹣1）=6n﹣1， ∴

．

（3）证明：∵

=，

∴=

∴b1+b2+…+bn＜

．

，

【点评】本题考查数列的首项的求法，考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质和放缩法的合理运用．

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