高二数学-2015-2016学年高二上学期期初数学试卷(2)(3)

当n=1时，a1=S1=2；

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2+n﹣1﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）﹣1]=4n﹣1， ∴an=

．

故答案为：an=

．

【点评】本题考查了递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

10．正项等比数列{an}中，存在两项am，an使得值

．

=4a1，且a6=a5+2a4，则

最小

【考点】基本不等式；等比数列的通项公式． 【专题】不等式的解法及应用．

【分析】利用等比数列的通项公式可得q，进而点到m+n=6，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q＞0． ∵∴化为

=4a1，且a6=a5+2a4，

，

=4，q2﹣q﹣2=0，q＞0．

，即m+n=6．

=

=，当且仅当

，

解得q=2，∴∴

=

n=2m=4时取等号． ∴

最小值为．

故答案为：．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

11

11．与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是 （x﹣2）2+（y﹣2）2=2 ． 【考点】直线和圆的方程的应用． 【专题】压轴题．

【分析】由题意可知先求圆心坐标，再求圆心到直线的距离，求出最小的圆的半径，圆心坐标，可得圆的方程．

【解答】解：曲线化为（x﹣6）2+（y﹣6）2=18， 其圆心到直线x+y﹣2=0的距离为所求的最小圆的圆心在直线y=x上， 其到直线的距离为

，圆心坐标为（2，2）．

．

标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=2． 故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．

【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，考查转化的数学思想，是中档题．

12．函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜[0，

]上的最小值为 ．

）向左平移

个单位后是奇函数，则函数f（x）在

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】三角函数的图像与性质．

【分析】首先利用函数图象的平移得到平移后的图象的函数解析式，再根据函数为奇函数得到φ的值，则函数解析式可求，由x的范围得到相位的范围，最后求得函数的最小值． 【解答】解：把函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移的图象，

个单位得到函数y=sin（2x+

+φ）

12

∵函数y=sin（2x+∵|φ|＜

+φ）为奇函数，故

．

]，

+φ=kπ，

，故φ的最小值是﹣

∴函数为y=sin（2x﹣∴2x﹣

∈[﹣

，

）．x∈[0，]，

．

x=0时，函数取得最小值为﹣故答案为：﹣

．

【点评】本题考查了函数图象的平移变换，考查了函数值域的求法，是中档题．

13．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：

①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”； ②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；

③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）?B．④若函数f（x）=aln（x+2）+

（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．

其中的真命题有 ①③④ ．（写出所有真命题的序号）

【考点】命题的真假判断与应用；充要条件；全称命题；特称命题；函数的值域． 【专题】新定义；极限思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑． 【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．

【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都?a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R．反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都?a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；

（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．

∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故②是假命题；

13

（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．故f（x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）． 则f（x）+g（x）?B，故③是真命题； （4）对于命题④，∵﹣≤

≤，

当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=故答案为①③④．

【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题．

14．b，c满足a≤b+c≤3a，3b2≤a≤5b2，已知三个正数a，（a+c）则【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用．

【分析】将不等式组进行转化，设=x， =y，利用线性规划的知识进行求解即可． 【解答】解：不等式a≤b+c≤3a，3b2≤a（a+c）≤5b2， 等价为1≤+≤3，3（）2≤1+≤5（）2， 设=x， =y，

的最小值是 ﹣

．

，f（x）∈B，故④是真命题．

则不等式等价为，

即，则=﹣2?=x﹣2y，

设z=x﹣2y，

作出不等式组对应的平面区域如图：

14

由z=x﹣2y得y=平移直线y=

，

，

由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最大，此时z最小，

由，解得x=﹣1（舍）或x=，

此时y=3﹣x=3﹣=即A（，

）

，

代入目标函数z=x﹣2y， 得z=﹣2×

=﹣

．

∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣故答案为：﹣

【点评】本题主要考查线性规划的应用，将不等式组进行转化，利用换元法转化为线性规划的知识是解决本题的关键．综合性较强．

二、解答题．（共6小题，90分）

15．已知命题p：指数函数f（x）=（2a﹣6）x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1=0的两个实根均大于3．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围． 【考点】复合命题的真假．

【分析】根据指数函数的单调性求出命题p为真命题时a的范围，利用二次方程的实根分布求出命题q为真命题时a的范围；

15