高二数学-2015-2016学年高二上学期期初数学试卷(2)(4)

据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系将“p或q为真，p且q为假”转化为p q的真假，列出不等式解得．

【解答】解：若p真，则f（x）=（2a﹣6）x在R上单调递减， ∴0＜2a﹣6＜1，且2a﹣6≠1 ∴3＜a＜且a≠．

若q真，令f（x）=x2﹣3ax+2a2+1，则应满足

∴

∴a＞，

又由题意应有p真q假或p假q真．

①若p真q假，则，a无解．

②若p假q真，则

∴由2a﹣6＞0且2a﹣6≠1，可得a＞．

【点评】本题考查复合命题的真假与简单命题真假的关系；考查二次方程实根分布．

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量向量

（Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）设BC中点为D，且AD=【考点】正弦定理． 【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）由条件利用两个向量共线的性质、正弦定理、余弦定理可得cosB的值，从而求得B的值．

；求a+2c的最大值及此时△ABC的面积． ，且

；

，

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（Ⅱ）设∠BAD=θ，则在△BAD中，可知，利用正弦定理求得BD、AB

的值，可得a+2c的值，再利用正弦函数的定义域和值域求得a+2c的最大值及此时△ABC的面积．

【解答】解：（Ⅰ）因为

，故有（a+b）（sinA+sinB）﹣c（sinA﹣sinC）=0，

由正弦定理可得（a﹣b）（a+b）﹣c（a﹣c）=0，即a2+c2﹣b2=ac， 由余弦定理可知

，因为B∈（0，π），所以

．

（Ⅱ）设∠BAD=θ，则在△BAD中，由可知，

由正弦定理及有，

所以所以从而由即此时

可知

时，a+2c的最大值为

，

． ，

， ，所以当

，

，

，所以S=ac?sinB=

【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，正弦定理和余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．

17．已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件该产品需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f（x）万元，

且f（x）=．

（Ⅰ）写出年利润P（万元）关于产品年产量x（千件）的函数关系式；

（Ⅱ）年产量x为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）

【考点】函数模型的选择与应用；分段函数的应用．

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【专题】计算题；应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）当0＜x≤10时，P=xf（x）﹣（10+2.7x）=8.1x﹣（x）﹣（10+2.7x）=98﹣

﹣2.7x；写成分段函数即可；

﹣10；当x＞10时，P=xf

（Ⅱ）分0＜x≤10与10＜x时讨论函数的最大值，从而求最大值点即可． 【解答】解：（Ⅰ）当0＜x≤10时， P=xf（x）﹣（10+2.7x）=8.1x﹣

﹣10；

﹣2.7x；

当x＞10时，P=xf（x）﹣（10+2.7x）=98﹣

故P=；

（Ⅱ）①当0＜x≤10时，由P′=8.1﹣故当x=9时有最大值P=8.1×9﹣②当10＜x时，由P=98﹣（（当且仅当

=2.7x，即x=

=0解得，x=9；

﹣10=38.6； +2.7x）≤98﹣2时，等号成立）；

=38；

综上所述，当x=9时，P取得最大值．

即当年产量x为9千件时，该企业生产此产品所获年利润最大．

【点评】本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了导数的应用与基本不等式的应用，属于中档题．

18．已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． （1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；

（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当线CD的方程；

（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 【考点】圆方程的综合应用． 【专题】计算题；证明题．

时，求直

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【分析】（1）设P（2m，m），代入圆方程，解得m，进而可知点P的坐标．

（2）设直线CD的方程为：y﹣1=k（x﹣2），由圆心M到直线CD的距离求得k，则直线方程可得．

（3）设P（2m，m），MP的中点

，因为PA是圆M的切线，进而可知经过

A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m的恒等式，进而可求得x和y，得到经过A，P，M三点的圆必过定点的坐标． 【解答】解：（1）设P（2m，m），由题可知MP=2，所以（2m）2+（m﹣2）2=4， 解之得：

，

．

故所求点P的坐标为P（0，0）或

（2）设直线CD的方程为：y﹣1=k（x﹣2），易知k存在， 由题知圆心M到直线CD的距离为

，所以

，

解得，k=﹣1或，故所求直线CD的方程为：x+y﹣3=0或x+7y﹣9=0．

，

（3）设P（2m，m），MP的中点

因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，故其方程为：

化简得：x2+y2﹣2y﹣m（2x+y﹣2）=0，此式是关于m的恒等式， 故x2+y2﹣2y=0且（2x+y﹣2）=0，

解得或

所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或（，）．

【点评】本题主要考查了圆方程的综合运用．解题的关键是对圆性质的熟练掌握．

19．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．

（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程； （Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+

，求函数h（x）的单调区间；

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（Ⅲ）若g（x）=﹣立，求a的取值范围．

，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】导数的综合应用．

【分析】（Ⅰ）求出切点（1，1），求出线f（x）在点（1，1）处的切线方程．

（Ⅱ）求出函数的定义域，函数的导函数，①a＞﹣1时，②a≤﹣1时，分别求解函数的单调区间即可．

（Ⅲ）转化已知条件为函数

在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0，利用

，然后求解斜率k，即可求解曲

第（Ⅱ）问的结果，通过①a≥e﹣1时，②a≤0时，③0＜a＜e﹣1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围．

【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1）， ∴

，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，

∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0． （Ⅱ）

，定义域为（0，+∞），

，

①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0， ∵x＞0，∴x＞1+a

令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a． ②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，

综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增． 当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．

（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立， 即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，

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