廖老师网上千题解答251-300题(4)

（2）要使

mnpmnp(u?v)(nu?mv)?puv???＝＝?? a?bb?cc?auvu?vuv(u?v)?4mnuv?puvuv(4mn?p)??0恒成立

uv(u?v)uv(u?v)只要4mn?p 288、已知sin?2?cos?2??110，tan(???)?，??(,?),求tan(??2?)

225解：由sin1?sin???2?cos?2?10两边平方后得 52343，sin??，cos???，tan??? 555411由tan(???)?得tan???

22tan??tan2?7?14??2?)?? tan2????，tan(11?tan?tan2?2431?4289、已知a1=3，且an?Sn?1?2n,求an和Sn 解1：an?Sn?1?2n 故Sn?Sn?1?Sn?1?2n

Sn?2Sn?1?2n

故Sn?2Sn?1?2n，Sn?n?2n?2[Sn?1?(n?1)?2n?1]

数列{Sn?n?2n}是等比数列，首项1，公比2，Sn?n?2n?2n?1

Sn?n?2n?2n?1

解2：an?Sn?1?2n,故Sn?Sn?1?Sn?1?2n

Sn?2Sn?1?2n,

SnSn?1?n?1?1 n22数列{SnSn331}?是等差数列，首项，公比差为1，+（n-1）=n+

222n2n2Sn?n?2n?2n?1 求an略

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290、求关于x的方程x2?(m?1)x?1?0在[0，2]上有解的m值集合 解：由于x=0不是解

1故x??1?m

x1因x?(0,2]，故x??1，1?m?1，m?0

xx2?y2?1相交于A,B两点，当m变化时， 291、若直线y=x+m和4（1）求｜AB｜的最大值

（2）求△AOB面积的最大值（0为坐标原点）

x2?y2?1消去主y得 解：联立y=x+m与4x2?(x?m)2?1 4即5x2?8mx?4m2?4?0

??64m2?80(m2?1)?16(5?m2)?0，?5?m?5 ｜AB｜＝2?2410＝ 16(5?m2)，当m?0时｜AB｜最大＝555|m|2（2）原点到直线x-y+m＝0的距离为d?

故S?1252|m|2142|AB|d??m2(5?m2)?＝5?m2?()?1 2525522510即m??时△AOB面积的最大，最大值为1 22故当m2?292、圆x2?y2?1和抛物线y=x2?2上三个不同点ABC若AB和AC和圆相切 求证：BC也和圆相切

证明：设抛物线y=x2?2上三个不同点A(x1,x1?2)，B(x2,x2?2) C(x3,x3?2)则

直线AB：y?x1?2?(x1?x2)(x?x1) 即(x1?x2)x?y?x1x2?2?0

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2222与圆相切，则

2|x1x2?2|(x1?x2)?122?1

2故 (x1?1)x2?2x1x2?3?x1?0 同理 (x1?1)x3?2x1x3?3?x1?0

故x2和x3是方程(x1?1)x2?2x1x?3?x1?0的两根 故有x2?x3＝-222222x1x1?12，x2x3＝3?x122x1?1

直线BC： (x2?x3)x?y?x2x3?2?0

圆心到直线BC的距离d?|x2x3?2|(x2?x3)?12|?3?x122x1?14x122?2|??1|

x1?1x1?1

222

2

|

2

?1

(x1?1)

(x1?1)2故直线BC与圆x2?y2?1 也相切

(x1?1)2

293、若抛物线y?ax2?1上存在AB 2点关于直线x+y=0对称 求实数a的取值范围

解1：假设抛物线y?ax2?1上存两点A和B满足条件 设A（m，n）则它关于直线x+y=0对称点B（?n,?m） 由于A，B在抛物线y?ax2?1上，故

n?am2?1（1）且?m?an2?1（2）

相减得m?n?a(m2?n2) 因m?n，a?0故m?n?an2?n?11，m??n代入（2）得 aa1?1?0 a13??1?4a(?1)?0，得a?

a4解2、假设抛物线y?ax2?1上存两点A和B满足条件 设直线A B的方程为y?x?b，A(x1,y1)，B(x2,y2)

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联立y?x?b，y?ax2?1消y得

ax2?x?b?1?0

则x1?x2?1， ??1?4a(b?1)?0（1） a设弦A B中点(x0,y0)

1，x0?y0?0，y0?x0?b 2a111??b故b??代入（1） 消去x0,y0得?2a2aa131?4a(??1)?0，得a?

a41 ?Z的值域中 294、函数f(x)?x2?x? , x??n,n?1? , ,n2有10个不同的整数,求n

11解：f(x)?x2?x?的对称轴为x??

22（1）当n?0时区间[n,n+1]在对称轴右边

1所以f(x)?x2?x?在区间[n,n+1]上递增

211故f(x)?[n2?n?,(n?1)2?(n?1)?]

2211(n?1)2?(n?1)??(n2?n?)?10

22则x0?(2n?1)?1?10，n?4

1（2）当n??1时区间[n,n+1]=[-1,0]则f(x)?[?,1]不合舍去

4（3）当n??2时区间[n,n+1]在对称轴左边

1所以f(x)?x2?x?在区间[n,n+1]上递减

211故f(x)?[(n?1)2?(n?1)?,n2?n?]

2211(n2?n?)?(n?1)2?(n?1)??10

22?(2n?1)?1?10，n??6

综上n?4或?6

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295、定义域为R的奇函数f（x），对任意x ∈R有f（x）=f（x+2），且f（1）=2

则f（2）+f（4）+f（6）+??+f（2005）=--------- 解：定义域为R 的奇函数f（x） f（0）＝0

f（2）＝f（0）=0 f（4）＝f（2）=0 ?? 因此

f（2）+f（4）+f（6）+??+f（2004）＝0 又f（2005）= f（1）＝2 故原式＝2

296、已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x+1）= —f（x） （1）证明：f（x）是周期函数，并求一个周期 （T=2 ，已求好） （2）当x∈[ 0，1）时，f（x）=x ，求在 [ —1，0）上的解析式

（3）对于(2)中的函数f(x),方程f（x）= ax 有100个根，求a的取值范围。 解：（1）f（x+2）= f[（x+1）+1]＝-f（x+1）= -[-f（x）]= f（x） 故f（x）以2为周期

（2）设x∈[ —1，0）则x+1∈[ 0，1） 则f（x+1）=x+1

而f（x+1）= —f（x）

故—f（x）=x+1，即f（x）= -x-1 （3）作出f（x）与y= ax 的图象

由图象分别让y= ax过点（100，1）和点（-101，-1）

11得a?和a?

10010111?a?故 101100由图象分别让y= ax过点（101，-1）和点（-100，1）

11得a??和a??

10110011?a??故? 1001011111?a??a??综上或? 101100101100297、已知函数f（x）＝ax2?bx?c,其中a∈N*,b∈N* ,c∈Z

若对任意的x，不等式 4x ≤（fx）≤2（x2+1）恒成立,且存在x0，使得f(x0)<2(x02+1)成立,求c的值

解：联立y?4x与y?2(x2?1) 解得x1?x2?1

故y?4x与y?2(x2?1)相切于点(1,4)

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