廖老师网上千题解答251-300题

251、A,B,C是我军三个炮兵阵地，A在B得正东方向6Km,C在B的北30度西方向，相距4 Km，P为敌军炮阵地，某时刻，A发现敌军炮阵地的信号，由于B，C比A距P更远，因此，4秒后，B,C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为1 Km/s）。若从A炮击敌军炮阵地P，求炮击得方位角。 解：如图，建立坐标系，则A（3，0）B（－3，0）

?|PB|?|PA|?4?1?6

x2y2?P在双曲线??1(x?2)上45∵B、C两点同时发现信号，

∴P在线段BC的垂直平分线上.

∵C在B北偏西30°，且|CB|=4，?C(?5,23) ∴线段BC的垂直平分线方程为y?3?3(x?4) 3?xy?1??45由??x?8?3y?3?(x?4)解得??3?y?53??x?0,y?0??22y ?KAP?3C则直线AP的倾斜角为60° B ∴炮击方向角为北偏东60° 252、直角三角形ABC中,E,F分别是直角边AB,AC y上的任意点,自A向BC,CE,EF,FB引垂线,垂足 C(0,c)分别是M,N,P,Q 证明: M,N,P,Q四点共圆 证明：如图建立直角坐标系 设B(b,0)C(0,c)E(e,0)F(0,f) OAxF(0,f)ASQPWMN?AN?CE e?直线AN的方程为y?x（1） cxE(e,0)B(b,0)xy?直线BF的方程为??1（2） bfO联立（1）（2）得直线AN与直线BF交点W(bcfbef,) be?cfbe?cf同理得直线AQ与直线CE交点S(cefbec,) be?cfbe?cf因为?WQS??WNS?90?,故Q,N在以WS为直径的圆上，此圆的方程是 (x?bcfcefbefbec)(x?)?(y?)(y?)?0（3） be?cfbe?cfbe?cfbe?cf1

?AM?BC?直线AM的方程为y??直线BC的方程为

xy??1（5） bcbx（4） cbc2b2c,2)代入（3）式 联立（4）（5）得交点M(222b?cb?cbc2b2c,)在WS为直径的圆上 左边=0=右边，故点M(2b?c2b2?c2同理可证点P也在WS为直径的圆上,综上，M,N,P,Q四点共圆 证法2： 连MQ、MN 因为?AQB??AMB?90? 所以A、B、M、Q在以AB为直径的圆上 因为CA?AB,故CA是此圆的切线,于是?AMQ??SAC 同理A、C、M、N在以AC为直径的圆上,于是?AMN??ACN 所以?QMN??AMQ??AMN??SAC??ACN??QSE 因此Q、S、M、N四点共圆(1) 因为A、F、Q、P在以AF为直径的圆上 所以?QPF??QAF,同理?NPE??NAE??ACE 于是?QPF??NPE??QAF??ACE??QSN 故?QPN??QSN?180?,Q、S、N、P四点共圆(2) 由(1)(2)得M,N,P,Q四点共圆 253、若方程x3?3x2+1=k(x≥0)有两个解x1,x2,求|x1-x2|的最大值3 解：x3?3x2?k?1(x≥0) 作出f(x)?x3?3x2，y?k?1 由图象得 当k?1?0时|x1-x2|最大值为3

2 -82CFSQPMNEBAy=x3-3x2Ox1x23510-2y=k-1-4254、已知ΔABC的三边长为a,b,c,求证：sinABC1sinsin. 2228用高一方法证明

ABCABA?B1AAA?sin[sin(B?)?sin] 证明：sinsinsin?sinsincos22222222221AA111?sin(1?sin)??? 222248AA1当B??90?且sin?时取到“=”号

222ABC1即A?B?C?60?时sinsinsin取最大值

2228255 、已知数列{an}中，a1=1,a2=2+3,a3=4+5+6,a4=7+8+9+10,?，则a10=505 解：a1是1个加数， a2是2个加数，a3是3个加数，??

a10最后一个加数是1+2+3+?+10=55 a9最后一个加数是1+2+3+?+9=45

55?5645?46?=505 22256、已知函数F(X)对任意的实数X,Y都有F(X+Y)=F(X)+F(Y)+2Y(X+Y)+1,且F(1)=1问题:若X属于N+,试求F(X)的表达式. 解：F(X+Y)=F(X)+F(Y)+2Y(X+Y)+1中

令y=1得F(X+1)=F(x)+F(1)+2(X+1)+1= F(x)+ 2X+4 F(X+1)- F(x)=2X+4 当X属于N*且X≥2时

F(X)= F(1)+ F(2)- F(1)+ F(3)- F(2)+ ?+ F(x)- F(x-1) =1+6+8+10+?+ 2X+4

=1+(x-1)(6+ 2X+4)/2= x2+4x-4对x=1也成立 故当X属于N*时F(X) ＝x2+4x-4.157、

257、已知|a|<1，|b|<1，则|a+b|+|a-b|与2的大小关系为|a+b|+|a-b|___2 解：不妨设|a|≥|b|， (1)当a与b同号

则|a+b|+|a-b|=|a|+|b|+|a|-|b|=2|a| (1)当a与b异号

则|a+b|+|a-b|=|a|-|b|+|a|+|b|=2|a| 因|a|<1故2|a|<2 综上|a+b|+|a-b|<2

a10=（1+2+?+55）-（1+2+?+45）=

3

258、已知a?1,n?1,n?N?,证明: an?11?n(a?) ana1a(a2n?1)a(1?a2n)32n?1证明n2（a?a???a) ?n?n2aa(a?1)a(1?a)211?nn(a?a3???a2n?1)n＝nn(an1)n?n aa11故原式成立

259、求证: 不论m取任何实数,方程 (3m+4)x + (5-2m)y + 7m-6 = 0 所表示的曲线都必经过一个定点,并求这一点的坐标.

证明：把(3m+4)x + (5-2m)y + 7m-6 = 0按m整理得 m (3x -2y + 7)+ 4x + 5y -6 = 0(1)

联立3x -2y + 7＝0与4x + 5y -6＝0解得两直线的交点M（-1，2） 把M（-1，2）代入(1)式： 左边＝m ×0+ 0＝右边 因此，

方程 (3m+4)x + (5-2m)y + 7m-6 = 0 所表示的曲线都必经过定点,M（-1，2）

2260、计算：lg25?lg8?lg5lg20?lg22

3解：原式＝2lg5?2lg2?lg5(lg5?2lg2)?lg22 ＝2(lg5?lg2)?(lg25?2lg5lg2?lg22)?2?1?3 此题方法很多

261、不等式?cosx?22x（0?x?解：?cosx?22x

作出y??cosx和y?22x的图象 易知交点横坐标为

?2）的解集为

? 4??故解集为[,]

42262、函数y?x?1?x的值域为 解：定义域x?0

y?x?1?x?1x?1?x

此函数在[0,??)上递减

4

当x???时，y?0 当x?0时，y?1 值域为(0,1]

263、.圆x2?y2?2x?2y?c?0与直线2x+2y+c=0的位置关系为? 解：.圆(x?1)2?(y?1)2?2?c 因此2?c?0，c?2，r?2?c 圆心(1,1)到2x+2y+c=0的距离

d?|2?2?c|4?42?|4?c|22

c2?8c?1616?8cc(c?16)??d?r?

8882故（1）当c??16或0?c?2时d?r，相离

（2）当c??16或c?0时d?r，相切 （3）当?16?c?0时d?r，相交

264、.直线x+7y-10=0把圆x2?y2?4分成两段弧,则这两段弧的弧度之差为多少? 解：圆心(0,0)到.直线x+7y-10=0的距离

d?|0?0?10|50?2，弦对圆心(0,0)的张角为?

则cos?2??d2???，?，??

242r2两段弧的弧度之差＝(2???)?a?2??2a?? 或2??2????

265、.方程ax2?ay2?4(a?1)x?4y?0表示圆求实数a的取值范围,并求出其中半径最小的圆的方程.

解：（1）当a?0时

ax2?ay2?4(a?1)x?4y?0表示直线 （2）当a?0时，方程化为

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