廖老师网上千题解答251-300题(3)

278、设数列{an}中，a1?1，a2?2，{anan?1}是公比为3的等比数列，

bn?a2n?1?a2n,n?N?求bn

解：因{anan?1}是公比为3的等比数列，故anan?1?2?3n?1

an?12?3n?12?3n?1an?1?3an?1 ??n?22?3an故{a2n?1}和{a2n}都是公比为3的等比数列

bn?a2n?1?a2n=1?3n?1+2?3n?1=3n

279、已知首项为2的无穷等差数列{an}，其中a1，a2，a4，a8?成等比数列，记Tn是这个等比数列的前n项和，求Tn，并指出Tn是否是数列{an}中的项，如果是，是第几项？

解：设等差数列{an}的公差为d，则an?2?(n?1)d 由a1，a2，a4成等比得a2?a1a4

即(2?d)2?2(2?3d)，解得d?0，或d?2 （1）当d?0时an?2，Tn=2n， 当n=1时Tn是{an}中的项， 当n≥2时Tn不是{an} 中的项

（2）当d?2时an?2?2(n?1)?2n，a2n?1?2?(2n?1?1)2?2n，

2(1?2n)?2n?1?2， Tn=2?2???2=

1?22n2由于Tn==2(2n?1)，因此Tn是{an}中的第2n?1项

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280、若数列前n项之积为解：设这个数列为{an} 当n?2时

1,则limSn?_____ 2n??(n!)(n?1)111n[(n?1)!]2?n则an? ????(n!)2(n?1)[(n?1)!]2n(n!)2?(n?1)n2?(n?1)n(n?1)当n?1时， a1?11上式也成立 ?(1!)2(1?1)2因此an?1（n?N?）

n(n?1)Sn?1111111111?1?????=???????

nn?1n?11?22?3n(n?1)1223故limSn?1

n??281、M是△ABC的BC边上的中点，∠MAC=15度，求∠B的最大值

∠B的最大值105°

解：作出对MC的圆周角为15?的弧设BM=MC=2，则 OD=MDtan75?=2+3，

tan?OBD?OD2?3， ?BC3A14??6?2?OA 半径OM=

sin15?6?215?OA15?15?15?由切割线定理得AB?BC?BM?8?22

tan?ABO?OA6?23?1 ??AB222B2M1D 1C2?33?1?32??2?3 故tan?ABM?2?33?11?32

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282、韩信点兵,每3人一列余1人,每5人一列余2人,每7人一列余4人,每13人一列

余6人,问士兵总数借此题目,让我们大家一块讨论一下中国剩余定理 解：所求的数是

6+13×2+13×7×2＝214

283、若[x+19/100]+[x+20/100]+[x+21/100]+.....+[x+91/100]=546,求[100x]的值 这里\表示不大于y的整数,如[0.1]=0,[2.9]=2,[-0.2]=-1

解：式子 [x+19/100]+[x+20/100]+[x+21/100]+.....+[x+91/100]中共有 91-18=73个加数，546÷73=7 余35

故[x ]=7 后面35个加数中的值为[x ]+1， 由于

[x ]+ [x+1/100 ] + [x+2/100 ] +?+[x+18/100]+[x+19/100]+[x+20/100]+[x+21/100]+ ?+[x+91/100]+ [x+92/100]+?+[x+99/100]= [100x] [100x]=7×100+35+8＝743

sin??1284、求函数y?的最小值和最大值.

cos??2sin??1解法1：由y?得ycos??2y?sin??1

cos??2ycos??sin??2y?1

y2?1cos?(??)?2y?1

cos(???)?|2y?1|y2?12y?1y?12?(??)|?1 |cos故

?1，(2y?1)2?y2?1

4 32解得：0?y?解法2：设x/?cos?，y/?sin?，则x/?y/?1

sin??12y/?12y?＝/表示圆x/?y/?1上的点M(x.，y/)

cos??2x?22与定点A(2,1)连线的斜率

由直线y/?1?y(x/?2)与圆有公共点得 圆心（0，0）到直线yx/?y/?1?2y?0的距离

d?|1?2y|y?12?1以下同解1

y2?1cos?(??)?2y?1

ycos??sin??2y?1

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cos(???)?|2y?1|y2?12y?1y?12?(??)|?1 |cos故

?1，(2y?1)2?y2?1

4 3285、关于x的三次函数y=f(x)两个极值点为P、Q，其中P为原点，Q在曲线

解得：0?y?y?1?2x?x2上，则曲线y=f(x)的切线斜率的最大值的最小值为_______. 解：设Q（m，n）

因y?1?2x?x2定义域为[0，2]，值域[1，2] 故m?[0，2]，n?[1，2]

设f(x)=ax3?bx2?cx?d，则f/(x)=3ax?2bx?c 因原点为极值点，故f(0)＝f/(0)=0 故c?d?0

f(x)=ax3?bx2，f/(x)=3ax(x?故n?am3?bm2，m??a??2n3nb?， 32mm6nf/(x)=?3x(x?m)

m2b 3a2b) 3a3n6nm2?所以最大斜率k?3? 2m4m由于曲线y?1?2x?x2

是半圆(x?1)2?(y?1)2?1（y?0） 故半圆上的点Q（m，n）与原点连线的斜率所以最大斜率k?

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n1的最小值是 m23n3的最小值是

42my2x2286、已知椭圆2?2?1（a>b>0）,过中心O作互相垂直的两条铉AC、BD，

ab设点A、B的离心角分别为θ1θ2，求︱cos(θ1-θ2)︱的取值范围。 解：点A、B的离心角分别为θ1和θ2

A(acos?1,bsin?1)，B(acos?2,bsin?2)， 因OA?OB,故a2cos?1cos?2?b2sin?1sin?2?0 设t?cos?1cos?2?sin?1sin?2?cos(?1??2)

sin?1sin?2?t?cos?1cos?2代入得

a2cos?1cos?2?b2(t?cos?1cos?2)?0

tb2cos?1cos?2??2

a?b2tb2ta2＝2 sin?1sin?2?t?cos?1cos?2＝t?222a?ba?btb2ta2?| |cos(?1??2)|?|cos?1cos?2?sin?1sin?2|?|?2a?b2a2?b2t(a2?b2)a2?b2|?1，故|t|?2＝|2 22a?ba?b287、已知 a>b>c， (1)求证 当p <4 时，

11p??>0 恒成立 a?bb?cc?amnp??>0恒成立? a?bb?cc?a(2)从另一个角度推广， m、n、p 满足什么条件， a=3,b=2,c=1, p=10,1/(a-b) + 1/(b-c) + p/(c-a)<0

证明：（1）设u?a?b，v?b?c，则c?a??(m?n)

11p11p(u?v)2?puv???＝＝?? a?bb?cc?auvu?vuv(u?v)?4uv?puvuv(4?p)??0

uv(u?v)uv(u?v) 15