廖老师网上千题解答251-300题(2)

14x2?y2?4(1?)x??y?0

aa1214[x?2(1?)]2?(y?)?4(1?)2?2?0

aaaa因此当a?0时，这个方程表示圆

14221111半径为r，则r2?4(1?)2?2?4(2??1)＝?8(2?)?4?8(?)2?2

aaaa2aaa故当a?2时，r的最小值为2

266、.求圆x2?y2?4上与直线4x+3y+m=0的距离最大的点P的坐标. 解：解：圆心(0,0)到.直线4x+3y+m=0的距离

d?|m| 5|m|?2 5因此圆上的点到.直线4x+3y+m=0的最大距离是d?r?这个点在直线3x-4y=0上，设倾斜角为?，则

343tan??，cos??，sin??

45586当m?0时，所求的点为(rcos?,rsin?)?(,)

5586当m?0时，所求的点为(?rcos?,?rsin?)?(?,?)

558686当m?0时，所求的点为(,)或(?,?)

5555267、对于函数y?f(x)，若同时满足下列条件 ①f(x)在D内是单调函数；

②存在区间?a,b??D，使f(x)在?a,b?上的值域为?a,b?那么y?f(x)叫D上的闭函数．

（Ⅰ）求闭函数f(x)??x3(x?R)符合条件②的区间?a,b?； （Ⅱ）判断g(x)?x3?3x2是否为Ｒ上的闭函数，并说明理由

（Ⅲ）是否存在实数m，使函数h(x)=g(x)+mx是R上的闭函数，若存在求出m

的取值范围；若不存在说明理由．

解：（1）f?(x)??3x2?0故f(x)??x3在Ｒ上是减函数 令f(a)??a3?b，f(b)??b3?a 考虑到a?b，因此a?0?b

6

则a??1，b?1，故所求的区间[?1,1] （2）因g/(x)?3x2?6x?3x(x?2)

故g(x)?x3?3x2在（2，+∞）上递增，在（0，2）上递减 在R上不是单调函数，所以g(x)?x3?3x2不是Ｒ上的闭函数 （3）假设存在实数m使h(x)=g(x)+mx为Ｒ上的闭函数 h(x)=g(x)?mx?x3?3x2?mx

易知h(x)的定义域和值域都是R，下面看单调性 因h/(x)=3x2?6x?m?3(x?1)2?m?3

故，要使h(x)在R上为单调函数，的充要条件是

3(x?1)2?m?3?0对x?R恒成立 所以m?3?0，即m?3

因此存在实数m使h(x)=g(x)+mx为Ｒ上的闭函数，m的范围是[3,??) 268、f(2x?1)?4x2?8x?9 求f(x) 解法1：配凑法

f(2x?1)?4x2?8x?9?(2x?1)2?4x?8?(2x?1)2?2(2x?1)?6 所以f(x)?x2?2x?6 解法2：换元法

在f(2x?1)?4x2?8x?9中 设t?2x?1,则x?t?1 2则f(2x?1)?4x2?8x?9就变成了

f(t)?4(t?12t?1)?8()+9＝t2?2t?6 22所以f(x)?x2?2x?6

269\\、甲乙丙三人，丙的生日是X月Y日

甲乙都知道丙的生日是以下10组中的一天

2月3日 2月7日 2月8日 5月6日 5月7日 8月4日 8月9日 10月4日 10月6日 10月8日 甲知道X值，乙知道Y值

甲说：我如果不知道，乙肯定不知道

7

乙接着说，本来我不知道但是现在我知道了 甲接着说：那我也知道了。 大家知道丙的生日是哪天吗 在线等答案 谢谢大家 答：8月4日

“乙接着说，本来我不知道但是现在我知道了” “本来”二字说明了乙通过十个日期和Y

不能推断出丙的生日，由此可知丙的生日不可能是3号或9号 （因为3号和9号所对应的月份

是唯一的2月3日，8月9日） 而甲在听到乙的这句话后立刻得出丙的生日了 说明了甲

在排除2月3日，8月9日后就明白了丙是几号生日了，排除8月9日，2月3日后每个月的

日期如下： 2月7日 5月6日 8月4日 10月4日

2月8日 5月7日 10月6日 10月8日

由上表易知甲可以作出迅速的选择的原因是丙在8月生日 得丙在8月4日生日 270、已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1，2a7，3a4 成等差数列. 证明 12S3,S6,S12-S6成等比数列；

2、证明：a1，2a7，3a4成等差，4a7=a1+3a4 即4a1q6=a1+3a1q3，4q6=1+3q3，解得q3=?21 412a1(1?q3)a1(1?q12)a1(1?q6)a1(1?q6)2]-[12S3(S12?S6)?S6=[?]

1?q1?q1?q1?q12a1(1?q6)(1?q3)12a1(1?q6)(1?q3)633==2+812q?(1?q)]q]=0 [[22(1?q)(1?q)271、已知A,B为锐角,sinA=x,cosB =y,cos(A+B)=-3/5,写出y和x的关系式以及定

义域

解：因A,B为锐角

故y?cosB=cos[(A?B)?A]=cos(A?B)cosA?sin(A?B)sinA

341?x2?x 553因cos(A?B)??，A,B为锐角

53故A?B???arccos

53?A???arccos?B，B?(0,)

52?? 8

故B?(?2?arccos33,??arccos) 55?又因A?(0,)

2?3?故A?(?arccos,)

2523因此x?sinA?(,1)

5x2y2272、设定点P的坐标为(x0,y0),点M在椭圆2?2?1上,求|MP|R的最小值

ab答：几何处理作出以定点为圆心的圆与椭圆相切就行了，代数计算不容易。

对于特殊的情况可以选择直接消元或三解代换

273、若函数f(x)=(ax-1)/(x+b)的对称中心是(-2,1) 则a+b=__

ax?1a(x?b)?ab?1?ab?1??a?解：y? x?bx?bx?b对称中心为(?b,a)=(-2,1) 故b?2,a?1，a?b?3

274、定义在（-∞，+∞）上任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶

函数h(x)之和。

如果f(x)=2x，那么[h(n)]2-[g(n)]2 =____________ 解：设g(x)+h(x)＝2x（1） 则g(-x)+h(-x)＝2?x 即h(x) -g(x) ＝2?x（2） 由（1）×（2）得 [h(x)]2-[g(x)]2=1

4x275、设f(x)?x, 那么f(1/11)+f(2/11)+f(3/11)+?..+f(10/11)的值为

4?2___________

4x解：f(x)?x

4?24241?x??则f(1?x)?1?x xx4?24?24?2?44x?2?1 故f(x)?f(1?x)?x4?2由此得f(1/11)+f(2/11)+f(3/11)+?..+f(10/11)=5

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276、 对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的 x∈[m，n]，均有|f(x)－g(x)|≤1，则称f(x)与g(x)在[m，n]上是接近的，否则称f(x)

与g(x)在[m，n]上是非接近的，现有两个函数

f1(x)?loga(x?3a)与f2(x)?loga1(a?0,a?1)讨论f1(x)与f2(x)在给定区间x?a[a+2，a+3]上是否是接近的.

解：f(x)与g(x)的定义域分别为[a,??)和 [3a,??) 首先要有[a+2，a+3]?[a,??)且[a+2，a+3]?[3a,??) 故a+2－3a＞0，a+2－a＞0， ∴0＜a＜1，

由|f1(x)－f2(x)|=loga(x2－4ax+3a2)≤1，得－1≤loga(x2－4ax+3a2)≤1

1因0＜a＜1故>x2－4ax+3a2>a(1)

a2222

设g(x)= x－4ax+3a＝(x-2a)-a使(1)对x?[a+2，a+3]恒成立的充要条件是

1g(x)min>a 且g(x)max<

ag(x)对称轴x=2a，a+2-2a=2-a>0,即a+2>2a 故g(x)在[a+2，a+3]上递增，

因此，g(x)min=g(a+2)=9－6a，g(x)max=g(a+3)= 4－4a.

1所以9－6a >a 且4－4a <

a解得：0?a?9?57，

12故当0?a?9?57f1(x)与f2(x)在[a+2，a+3]上是接近，此外是不接近的.

12277、设数列{an}是公比为a(a?1)，首项为b的等比数列，Sn是前n项和， 对任n?N，(Sn,Sn?1)在直线______________________上

bb(1?an)ban?解：Sn== 1?a1?a1?abban故Sn?=?，

1?a1?aSn?1bbban?1?) ??=a(Sn?1?a1?a1?abb)+ 1?a1?a因此(Sn,Sn?1)在直线y=a(x?

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