2江苏省南通市2015届高三第二次调研测试数学试题(3)

p(a)?t1?0，且?1?a2?4t1?0，所以方程t2?at?t1?0有2个不同的实根； 当x≥a时，x2?ax?t1?0，记q(x)?x2?ax?t1，因为对称轴x?a?a，

2 q(a)??t1?0，且?2?a2?4t1?0，所以方程x2?ax?t1?0有1个实根， 从而方程xx?a?t1有3个不同的实根；

2a② 若xx?a?t2，其中0?t2?， 4 由①知，方程xx?a?t2有3个不同的实根；

③ 若xx?a?t3，

当x?a时，x2?ax?t3?0，记r(x)?x2?ax?t3，因为对称轴x?a?a，

2 r(a)??t3?0，且?3?a2?4t3?0，所以方程x2?ax?t3?0有1个实根； 当x≤a时，x2?ax?t3?0，记s(x)?x2?ax?t3，因为对称轴x?a?a，

2 s(a)?t3?0，且?3?a2?4t3，

a2?4t3?0?a3?4a2?16?0， ?? 14分

记m(a)?a3?4a2?16，则m?(a)?a(3a?8)?0，

??)上增函数，且m(4)??16?0，m(5)?9?0， 故m(a)为(4，5)， 所以m(a)?0有唯一解，不妨记为a0，且a0?(4， 若4?a?a0，即?3?0，方程x2?ax?t3?0有0个实根； 若a?a0，即?3?0，方程x2?ax?t3?0有1个实根； 若a?a0，即?3?0，方程x2?ax?t3?0有2个实根，

所以，当4?a?a0时，方程xx?a?t3有1个实根； 当a?a0时，方程xx?a?t3有2个实根； 当a?a0时，方程xx?a?t3有3个实根．

综上，当4?a?a0时，函数y?f?f(x)?a?的零点个数为7； 当a?a0时，函数y?f?f(x)?a?的零点个数为8；

当a?a0时，函数y?f?f(x)?a?的零点个数为9． ?? 16分

- 11 -

（注：第（1）小问中，求得a?0后不验证f(x)为奇函数，不扣分；第（2）小问中利用分离参数法参照参

考答案给分；第（3）小问中使用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分．）

20．解：（1）证明：依题意，cn?1?cn?d??an?1?bn?1???an?bn??d

??an?1?an??d??bn?1?bn?

?bn(q?1)?0， ?? 3分 从而

cn?2?cn?1?dbn?1(q?1)??q，又c2?c1?d?b1(q?1)?0，

cn?1?cn?dbn(q?1) 所以?cn?1?cn?d?是首项为b1(q?1)，公比为q的等比数列． ?? 5分

（2）① 法1：由（1）得，等比数列?cn?1?cn?d?的前3项为6?d，9?d，15?d， 则?9?d???6?d??15?d?，

解得d?3，从而q?2， ?? 7分 ?a?b?4， 且?11

a?3?2b?10， ?112 解得a1?1，b1?3，

所以an?3n?2，bn?3?2n?1． ?? 10分

?a1?b1?4，??a1?d?b1q?10， 法2：依题意，得? ?? 7分 2a?2d?bq?19，1?1?a?3d?bq3?34，?11?d?b1q?b1?6，? 消去a1，得?d?b1q2?b1q?9，

?32?d?b1q?b1q?15，2??b1q?2b1q?b1?3， 消去d，得?3 2bq?2bq?bq?6，??111 消去b1，得q?2，

从而可解得，a1?1，b1?3，d?3，

所以an?3n?2，bn?3?2n?1． ?? 10分 ② 假设存在满足题意的集合A，不妨设l，m，p，r?A(l?m?p?r)，且cl，cm， cp，cr成等差数列， 则2cm?cp?cl，

因为cl?0，所以2cm?cp， ①

- 12 -

若p?m?1，则p≥m?2，

m?1m?1p?1 结合①得，2??(3m?2)?3?2???(3p?2)?3?2≥3(m?2)?2?3?2，

化简得，2m?m??8?0， ②

3 因为m≥2，m?N?，不难知2m?m?0，这与②矛盾， 所以只能p?m?1， 同理，r?p?1，

所以cm，cp，cr为数列?cn?的连续三项，从而2cm?1?cm?cm?2， 即2?am?1?bm?1??am?bm?am?2?bm?2，

故2bm?1?bm?bm?2，只能q?1，这与q?1矛盾，

所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A． ?? 16分

（注：第（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分．）

南通市2015届高三第二次调研测试

数学Ⅱ（附加题）

A．证明：因为PC为圆O的切线，

所以?PCA??CBP， ?? 3分 又?CPA??CPB，

故△CAP∽△BCP， ?? 7分 所以AC?AP，

BCPC 即AP?BC?AC?CP． ?? 10分

?2?B．解：设??是矩阵M属于特征值?的一个特征向量，

?3??a2??2? 则???3???32?????2??3?， ?? 5分 ??C O B P

A （第21 - A题）

?2a?6?2?，??=4， 故?解得? ?? 10分

12?3?， a?1. ??- 13 -

C． 解：（方法1）将直线??π化为普通方程得，y?3x，

3 将曲线?2?10?cos??4?0化为普通方程得，x2?y2?10x?4?0, ?? 4分

联立???y?3x，并消去y得，2x2?5x?2?0??x2?y2?10x?4?0，

解得x1?12，x2?2，

所以AB中点的横坐标为

x1?x22?54，纵坐标为523， 化为极坐标为?52， π3?． ? （方法2）联立直线l与曲线C的方程组????π3， ???2?10?cos??4?0， 消去?，得?2?5??4?0，

解得?1?1，?2?4， 所以线段AB中点的极坐标为

??1??22， π3?，即?52， π3?． （注：将线段AB中点的极坐标写成?52， π3?2kπ? (k?Z)的不扣分．

）

D．证明：由柯西不等式，得?a2?b2?c2??12?22?32?≥?a?2b?3c?2， 因为a?2b?3c?4，

故a2?b2?c2≥87， 当且仅当a1?b2?c3，即a?27，b?47，c?67时取“?”．

22．解：（1）将点A(8，?4)代入y2?2px，

得p?1， ?? 2分 将点P(2，t)代入y2?2x，得t??2，

因为t?0，所以t??2． ?? 4分

（2）依题意，M的坐标为(2，0)， - 14 -

?? 8分

?? 10分

?? 2分 ?? 6分

?? 10分 ?? 6分 ?? 8分

?? 10分 y C B O M x P A （第22题）

直线AM的方程为y??2x?4，

33?y??2x?4，?33并解得B1， 联立?1， ?? 6分

22??y?2x?? 所以k1??1，k2??2，

3 代入k1?k2?2k3得，k3??7， ?? 8分

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