物理奥赛辅导：第6讲 万有引力和天体运动(4)

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椭圆的面积为?ab，其中a??abSr1?r223，b?r1r2 因此周期为T???（r1?r2）2GM

从A到B点所需时间t为t?T2??（r1?r2）r1?r222GM

5．解：设火星和飞船的质量分别为M和m，飞船沿椭圆轨道运行时，飞船在最近点

或最远点与火星中心的距离为r，飞船速度为?． 因飞船喷气前绕圆轨道的面积速度为度

1212等于喷气后飞船绕椭圆轨道在P点的面积速r0?0。

，由开普勒第二定律，后者又应等于飞船在近、r0?Psin?（P点为圆和椭圆的交点）

12r?，故

12r0?0?12r0?Psin??22远火星点的面积速度

122r?，即r0?0?r?

由机械能守恒定律有

12m??G2Mmr?12m(?0???0)?G2Mmr0

飞船沿原圆轨道运动时，有GMmr20?m?0r0

式中r0?R?H，r=R＋h

222上述三个方程消去G、M、?0后可解得关于r的方程为(1??)r?2r0r?r0?0

上式有两个解，大者为r远，小者为r近．

r01??R?H1??r01??R?H1??r近??，r远??

故近、远火星点距火星表面的高度为 h远?r远?R?H??R1??，h近?r近?R?H??R1??

(2)设椭圆轨道的半长轴为a

?2a r近?r，即a?远r01??2

2?r0飞船喷气前绕圆轨道运行的周期为T0??0，设飞船喷气后，绕椭圆轨道运行的周期为

T，由开普勒第三定律有

TT0?（ar0）2

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故T?T（0ar0）2?32?r0（11???0）2，即T?232?（R?H）（11???0）2。 236．解：设脱离前登月器与航天飞机一起绕月球运动的速度为V0，有

GMm（?M?m）（M?m）V0，得V0??2（3Rm）3Rm2GMm3Rm 其运动周期T0?2?（3Rm）?6?RmV0GMmR2m3RmGMm ①式中Mm为月球的质量，而月

球表面的重力加速度gm?，

故

GMmRm?gmRm?1.62?1.74?10?2.82?10m/s

6622因而①式中T0?33812s?9.4h

设登月器与航天飞机脱离后两者的的速度分别为V1和V2，由动量守恒可得

）V0?mV?M 2V （M?m ② 1此后两者沿不同的椭圆轨道运动，设登月器运动到月球表面时的速度为V1?，则由机械能守恒得

12mV1?2GMmm3Rm?12V1??2GMmmRm ③

由开普勒第二定律3RmV1?RmV1? ④ 由③④可得，V1?GMm6Rm32??12V0 ⑤

将⑤代入②得，V2?(122)V0 ⑥

设航天飞机运动到离月球最远处与月球的距离为KRm，速度为V2?，同样可得类似于③④式的方程

12mV2?2GMmm3Rm?12mV2??2GMmmRm ⑦

3RmV2?KRmV2? ⑧

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由⑦⑧式可解得K?2(3V0V2)?12?19?6222?1?5.75

故航天飞机运动轨道的半长轴为dm?12(K?3)Rm ⑨

由题意知，登月器为能沿原轨道返回脱离点与航天飞机实现对接，则它在月球上 可逗留的时间应是?t?(n?1)TM?Tm (n?0,1,2???) ⑩ 式中TM与Tm分别为航天飞机与登月器运动周期，由开普勒第三定律，得

TMT0TmT0?(dm3Rm)32?(K?36)32?1.76

?(2Rm3Rm)3223?()2?0.54 3TM?1.76T0，Tm?0.54T0

将两式代入⑩式，得 ? ?t??(n?1)?1.76054??.T0(n1.?761?. 2h 2(n)?90.,41,?2? ?上式即为登月器在月球表面可逗留的时间，最短时间为11.5 h.

7．解：（1）这是一个大尺度运动，导弹发射后，在地球

引力作用下将沿椭圆轨道运动.如果导弹能打到N点，

则此椭圆一定位于过地心O、北极点N和赤道上的

发射点C组成的平面(此平面是C点所在的子午面)内，

因此导弹的发射速度(初速度v)必须也在此平面内，

地心O是椭圆的一个焦点.根据对称性，注意到椭圆上的C、N两点到焦点O的距离相等，故所考察椭圆的长轴是过O点垂直CN的直线，即图上的直线AB，椭圆的另一焦点必在AB上.已知质量为m的物体在质量为M的地球的引力作用下作椭圆运动时，物体和地球

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构成的系统的能量E(无穷远作为引力势能的零点)与椭圆半长轴a的关系为E??(1)

GMm2a

要求发射的能量最少，即要求椭圆的半长轴a最短.根据椭圆的几何性质可知，椭圆的两

焦点到椭圆上任一点的距离之和为2a，现C点到一个焦点O的距离是定值，等于地球的半径R，只要位于长轴上的另一焦点到C的距离最小，该椭圆的半长轴就最小.显然，当另一焦点位于C到AB的垂线的垂足处时，C到该焦点的距离必最小.由几何关系可知

2a?R?22 R (2)

设发射时导弹的速度为v，则有

12GMmR E?m??2 (3)

解(1)、(2)、(3)式得??2GMR(2?) (4)

因GMmR2?mg (5)

比较(4)、(5)两式得??2Rg(2?) (6)

代入有关数据得??7.2km/s (7)

速度的方向在C点与椭圆轨道相切.根据解析几何知识，过椭圆上一点的切线的垂直线，

平分两焦点到该点连线的夹角∠OCP.从图中可看出，速度方向与OC的夹角

12 ??90?0?45?67.5 (8)

00 （2）由于地球绕通过ON的轴自转，在赤道上C点相对地心的速度为?C?2?RT (9)

式中R是地球的半径，T为地球自转的周期，T=24×3600s=86400s，故

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?C?0.4k6m(10) s/ C点速度的方向垂直于子午面(图中纸面).位于赤道上C点的导弹发射前也有与子午面垂直

的速度?C，为使导弹相对于地心速度位于子午面内，且满足(7)、(8)两式的要求，导弹相对于地面(C点)的发射速度应有一大小等于?C、方向与?C相反的分速度，以使导弹在此方向相对于地心的速度为零，导弹的速度的大小为

??????C (11)

22 代入有关数据得???7.4km/s (12)

它在赤道面内的分速度与?C相反，它在子午面内的分速度满足(7)、(8)两式.

（3）质量为m的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律，故对

于近地点和远地点有下列关系式

12m?1?2GMmr112?12m?2?2GMmr2 (13)

12r1?1?r?2 2 (14)

式中?1、?2分别为物体在远地点和近地点的速度，r1、r2为远地点和近地点到地心的距

离.将(14)式中的?1代入(13)式，经整理得

12m?(22r2GMm?1)?r2(?r )1 (15) 2r1r1r22 注意到r1+r2=2a (16)

得

12m?2?2GMmr12ar2 (17)

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