物理奥赛辅导：第6讲 万有引力和天体运动(3)

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5．宇宙飞船在距火星表面H高度处作匀速圆周运动，火星半径为R，今设飞船在极短时间内

向外侧点喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原速度的?倍，因?量很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会．如图6一6，飞船喷气质量可忽略不计． （1）试求飞船新轨道的近火星点的高度h近和远火星点高度h远， （2）设飞船原来的运动速度?0，试计算新轨道的运行周期T.

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6．质量为m的登月器连接在质量为M（=2m）的航天飞机上一起绕月球作圆周运动，其轨道

半径是月球半径Rm的3倍，某一时刻，将登月器相对航天飞机向运动反方向射出后，登月器仍沿原方向运动，并沿图6一7所示的椭圆轨道登上月球表面，在月球表面逗留一段时间后，经快速发动沿原椭圆轨道回到脱离点与航天飞机实现对接，试求登月器在月球表面可逗留多长时间？已知月球表面的重力加速度为gm=1.62m/s2，月球的半径

Rm?1.74?10m。

6

7．从赤道上的C点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点N，要求发射所用的能量最少.假定

地球是一质量均匀分布的半径为R的球体，R=6400km.已知质量为m的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量E与椭圆半长轴a的关系为

GMm2aE??式中M为地球质量，G为引力常量.

（1）假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向(用速度方向与从地心O到发射点C的连线之间的夹角表示).

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（2）若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？ （3）试导出E??

参考解答

GMm2a.

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1．解：（1）因人造地球卫星沿圆形轨道运动，则GMmr20?m?2r0，则EK?12m??2GMm2r0，

则卫星的机械能为E?GMm2r0?GMmr0??GMm2r0

（2） 设卫星旋转一周轨道半径改变量为△r，则对应机械能改变量为

?E???E??（2r??r）2r2GMmGMm2r?GMm1111?r?r，?（?）=?2

2rr??rrr??rr（r??r）rGMm?r

GMm2r2根据功能原理：W=ΔE，即?2?rf?4?rfGMm3?r，

?r??，负号表示轨道半径减小。

（3）卫星动能的改变量为：

GMmGMm2rGMm11GMmGMm4?rf?（?）??r???（?）?2?rf222r??rr2r2rGMm3?EK??（2r??r）2．解：（1）在近日点处，椭圆轨道方程中的θ=0，即R1?在远日点处???即R2??(1??)1???(1??)1???? ①

②

均①②式解得：??R1，??R1?R2R1?R223（2）根据开普勒第三定律，

Ta，设飞?C（常数）地球绕太阳的运行周期T1（=1年）

R1?R223R1行器运行的周期为T，则

TT122(?)3

即T?(R1?R22R1)32T

因此该飞行器沿此轨道运行到火星轨道所需时间为

t?T2?1R1?R232()年。 22R1www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

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3．解：对顶点1、2，由机械能守恒定律有

12m?1?G2MmA?C?12m?2?G2MmA?C ①

根据开普勒第二定律有V ② （A?C）?V（A?C）12②式中C?A?B 22由①②式解得V1=A?CBA?CBGMAGMAm?12=A?A?BB22GMA V2==A?A?BB22GMA 由万有引力提供向心力得

?1m?22Mm?G ③ 2（A?C）Mm?G ④ 2（A?C）?2解得?1??2?B2A

122对顶点3，由机械能守恒得

GMAm?3?GMmB?12m?1?G2MmA?C⑤

将?1代入⑤得?3?2 同样可得?3?AB

4．解：以V表示卫星的速度，当卫星在暂行轨道上经过近地点A和远地点B时．V与r垂直，

根据并普勒第二定律，有VB?r1r2VA

卫星在暂行轨道上总机械能守恒EA?EB

EA?12mVA?G2Mmr1，EB?12mVB?G2Mmr2，

12mVA?212mVB?GMm（21r1?1r2）

解得VA?22GMr2（r1r1?r2），VB?22GMr1r（r1?r2）212

卫星的面积速度为S?SA?SB?r1VA

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