物理奥赛辅导：第6讲 万有引力和天体运动

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第六讲 万有引力和天体运动

一、知识点击

1．开普勒定律

第一定律（轨道定律）：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动。太阳是在这些椭圆的一个焦点上。

第二定律（面积定律）：对每个行星来说，太阳和行星的连线（叫矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。“面积速度”：

?S?t?12r?sin?（θ为矢径r与速度?的夹角）

第三定律（周期定律）：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值相等。即：

Ta23?常量．

2．万有引力定律

?万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的．任何两个质点之间引力的大小跟这两个质点的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比． F?GMmr2?112 ， G?6.67?10N?m，称为引力常量． k/g2 ?重力加速度的基本计算方法

设M为地球的质量，g为地球表面的重力加速度． 在地球表面附近（h??R ）处：GMmRMr22?mg，g?GMR2=9.8m/s

2 在地球上空距地心r=R+h处：gr?G，

grg?Rr22?(RR?h)

24 在地球内部跟离地心r处：gr?G3．行星运动的能量 ?行星的动能

Mrr2?G3?r?r23?43G??r，

grg?rR ， gr?rRg

当一颗质量为m的行星以速度? 绕着质量为M的恒星做平径为r的圆周运动： EK?12m??G2Mm2r，式中??GMr。

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?行星的势能

对质量分别为M和m的两孤立星系，取无穷远处为万有引力势能零点，当m与M相距r时，其体系的引力势能：EP??GMmr12

m??G2 ?行星的机械能：E?EK?EP?4．宇宙速度和引力场 ?宇宙速度（相对地球）

Mmr??GMm2r

第一宇宙速度：环绕地球运动的速度（环绕速度）．

第二宇宙速度：人造天体发射到地球引力作用以外的最小速度（脱离速度）．

第三宇宙速度：使人造天体脱离太阳引力范围的最小速度（逃逸速度）． ?引力场、引力半径与宇宙半径．

对于任何一个质量为M，半径为r的均匀球形体系都有类似于地球情况下的这两个特征速度．如果第二宇宙速度超过光速，即c?2GMr，则有关系．r?2GMc2

在这种物体上，即使发射光也不能克服引力作用，最终一定要落回此物体上来，这就是牛顿理论的结论，近代理论有类似的结论，这种根本发不了光的物体，被称为黑洞，这个临界的r值被称为引力半径，记为rg?2GMc2

用地球质量代入，得到rg≈0.9 cm，设想地球全部质量缩小到1 cm以下的小球内，那么外界就得不到这个地球的任何光信息．

如果物质均匀分布于一个半径为r的球体内，密度为ρ，则总质量为M?443?r?

32G?又假设半径r正好是引力半径，那么rg?32c?rg?，得rg?(33c218?G?)2

此式表示所设环境中光不可能发射到超出rg的范围，联想起宇宙环境的质量密度平均值为10-29g/cm3，这等于说，我们不可能把光发射到1028cm以外的空洞，这个尺度称为宇宙半径． 二、方法演练

类型一、天体运动中一类应用开普勒定律的问题，解这类问题时一定要注意运动的轨道、面积、周期，但三者之间也是有关联的，正因为如此，解题时要特别注意“面积速度”。 例1．要发射一艘探测太阳的宇宙飞船，使其具有与地球相等的绕日运动周期，以便发射一年

后又将与地球相遇而发回探测资料。在地球发射这一艘飞船时，应使其具有多大的绕日

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速度？

分析与解：如示6—1所示，圆为地球绕日轨道，椭圆为所发射飞船的绕日轨道，S点（太阳）为此椭圆的一个焦点，因飞船与地球具有相等的绕日周期，由开普勒周期定律：

Ta23?4?GM2?STR23

可知椭圆的半长轴a=R，两轨道的交点必为半轴顶点， 发射飞船时，绕日速度?应沿轨道切线方向，即与椭圆 长轴平行的方向．

则飞船的“面积速度”为：?S椭?1212?b??RbT2，??2?RT2?RT

地球的“面积速度”为：?S圆?故：?0??

?0R??RT，?0?

当绕日速度的方向不同时，其轨道的短轴b不同，但长半轴R相同，太阳为椭圆轨道的一个焦点，且发射的绕日速度大小相同．

例2．一物体A由离地面很远处向地球下落，落至地面上时，其速度恰好等于第一宇宙速度．已

知地球半径R=6400 km.若不计物体在运动中所受到的阻力，求此物体在空中运动的时间。 分析和解：物体落至地面时其速度值为第一宇宙速度值，即：??上式中R为地球半径，g为地球表面处的重力加速度。

设A最初离地心的距离为r，则由其下落过程中机械能守恒，应有：m??G212Rg MmR??GMmr

且GM=gR2

联立上三式可解得：r=2R

物体在中心天体引力作用下做直线运动时，其速度、加速度是变化的，可以将它看绕中心天体的椭圆轨道运动，将其短轴取无限小。这就是我们通常所说的“轨道极限化”。

物体A下落可以看成是沿着很狭长的椭圆 轨道运行，其焦点非常接近此椭圆轨道长轴的 两端，如图6—2所示，则由开普勒第一定律， 得知地心为椭圆的一个焦点．则椭圆长半轴为 a=R

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又由开普勒第三定律，物体沿椭圆轨道运行的周期和沿绕地心（轨道不计为R）的圆轨道运行的周期相等．其周期为：

T?2?R?2?RgSS0? 再由开普勒第二定律得：

1412?tT

S??ab?1ab，S0??ab

t?SS0T?4?ab??ab12ab?2?Rg?(?2?1)Rg

?(3.142?1)6400?109.83?2.06?10s

3类型二、天体质量（密度）的计算问题往往是由万有引力定律和向心力公式建立天体计算的基本方程，解题时一般要注意中心天体与运动卫星关系的建立，同时还要注意忽略微小量（次要因数）的问题，这是解决这类问题的两个非常重要的因数。

例3．新发现一行星，其星球半径为6400 km，且由通常的水形成的海洋覆盖它所有的表面，海洋的深度为10 km，学者们对该行星进行探查时发现，当把试验样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变．试求此行星表面处的自由落体加速度．已知万有引力常量G=6. 67×10-11N m2/ kg2。

分析和解：解本题的关键就在于首先要建立中心天体和运动卫星，才能运用基本方程式求行星表面处的自由落体加速度，若把水视为运动卫星群，则关键是如何求中心天体的质量。

以R表示此星球的半径，M表示其质量，h表示其表面层海洋的深度，R0表示除海洋外星球内层的半径，r表示海洋内任一点到星球中心的距离．则：

R?r?R0，且R?R0?h，以ρm?43水

表示水的密度．则此星球表面海洋水的总质量为

223?R?水?3 …… 此处隐藏：2602字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……