物理奥赛辅导：第6讲 万有引力和天体运动(2)

高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家

关闭发动机，以使飞行器获得所需的速度，沿圆周轨道的切线方向离开圆轨道；Ⅱ．飞行器到达小行星的轨道时正好位于小行星的前缘，速度的方向和小行星在该处速度的方向相同，正好可被小行星碰撞；Ⅲ．小行星与飞行器的碰撞是弹性正碰。不计燃烧的燃料质量．

（1）试通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系．

（2）设在上述方案中，飞行器从发动机取得的能量为E1．如果不采取上述方案而令飞行器在圆轨道上突然点燃喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞行器获得足够的速度沿圆轨道切线方向离开圆轨道后能直接飞出太阳系．采用这种办法时飞行器从发动机取得的能量的最小值用E2表示．问

E1E2为多少？

分析和解：(1)设太阳的质量为M0，飞行器的质量为m，飞行器绕太阳做圆周运动的轨道半径为R。根据所设计的方案，可知飞行器是从其原来的圆轨道上某处出发，沿着半个椭圆轨道到达小行星轨道上的．该椭圆既与飞行器原来的圆轨道相切，又与小行星的圆轨道相切．要使飞行器沿此椭圆轨道运动，应点燃发动机使飞行器的速度在极短时间内，由?0变为某一值u0．设飞行器沿椭圆轨道到达小行星轨道时的速度为u,因为大小为u0和u的这两个速度的方向都与椭圆的长轴垂直，由开普勒第二定律可得u0 R= 6 Ur （1） 由能量关系，有

12mu0?G2M0mR?122mu?G2M0m6R （2）

由万有引力定律，有GM0mR2?m?0R，或?0?GM0R （3）

解（1）（2）（3）三式得u0?127?0 （4），u?121?0 （5）

设小行星绕太阳运动的速度为V，小行星的质量为M， ?M由万有引力定律G，得V?2（6R）6RM0MV2GM06R?16?0 （6）

可以看出V>u （7）

由此可见，只要选择好飞行器在圆轨道上合适的位置离开圆轨道，使得它到达小行星轨道处时，小行星的前缘也正好运动到该处，则飞行器就能被小行星撞击。可以把小行星看作是相对静止的，飞行器以相对速度V?u 射向小行星，由于小行星的的质量比飞行器的质量大得多，碰撞后，飞行器以同样的速度V?u弹回，即碰撞后，飞行器对小行星的速度的大小

www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家

为V?u，方向与小行星的速度的方向相同，故飞行器相对太阳的速度为

u1?V?V?u?2V?u

或将（5）（6）式代入得u1?(23?121)?0 （8）

如果飞行器能从小行星的轨道上直接飞出太阳系，它应具有的最小速度为u2，则有

12mu2?G2M0m6R?0

得u2?GM03R?13?0 （9）

1713可以看出u1?13(2?)?0??0?u2 （10）

飞行器被小行星撞击后具有的速度足以保证它能飞出太阳系．

（2） 为使飞行器能进人椭圆轨道，发动机应使飞行器的速度由?0增加到u0，飞行器从发动

机取得的能量

（3） E1?12mu0?212m?0?212m127?0?212m?0?2514m?0 （11）

2若飞行器从其圆周轨道上直接飞出太阳系，飞行器应具有最小速度为u3，则有

12mu3?G2M0mR?0

由此得u3?2GM0R?2?0 （12）

飞行器的速度由?0增加到u3，应从发动机获取的能量为

E2?12mu3?212m?0?2212m?0 （13）

25所以

?14?0.71 （14）

1E22m?02E1m?0类型五、天体运动的宇宙速度问题实质上就是两个问题：一个是摆脱引力场所需要的能量的问题；一个是能量的来源问题。而能量要么来源于燃料，要么来源于碰撞。

例7．经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研

究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星之间的距离，一般双星系统距离其他星

www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家

体很远，可以当作孤立系统处理，现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该星系统中每个星体的质量M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点作圆周运动． （1）试计算该双星系统的运动周期T计算；

（2）若实验上观测到的运动周期为T观测，,且T观测∶T

测

计算

=1∶N（N＞l），为了解释T观

与T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测

不到的暗 物质，作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度．

解.（1）双星均绕它们的连线的中点作圆周运动，设运动速度为?，向心加速度满淀下面的方

程M?2L/2?GML22 ①

??GM2L ②

周期T计算?2?（L/2）??L2LGM? ③

(2）根据观测结果，星体的运动周期

T观测?1NT计算?T计算 ④

这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力，故它一定还受到其他指向中心的作用力，按题意，这一作用来源于均匀分布的暗物质，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量M'、位于中点处的质点相同，考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度?观，现有M?观L/22?GML22?GMM?(L/2)2 ⑤

?观?G(M?4M?)2L ⑥

111因为在轨道一定时，周期和速度成反比，由④式得

N?14?观?N? ⑦

把②⑥式代入⑦式得M??M ⑧

www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家

设所求暗物质的密度为ρ，则有?()3??324LN?14M

故??3(N?1)M2?L3 ⑨

三、小试身手

1．质量为m的人造地球卫星，绕半径为r0的圆轨道飞行，地球质量为M，试求

（1）卫星的总机械能．

（2）若卫星受微弱摩擦阻力f(常量)，则将缓慢地沿一螺旋轨道接近地球，因f很小，

轨道半例径变化非常缓慢，每周旋转可近似按半径为r的圆轨道处理，但r将逐周缩短，在r轨道上旋转一周r的改变量Δr是多少．

（3）在r轨道上旋转一周卫星动能的改变量是多少．

2．一个飞行器被发射到一个围饶太阳的椭圆轨道上，以地球轨道为近日点，而以火星轨道为

远日点，如图6—3所示，已知地球至太阳的距离为R1，火星至太阳的距离为R2．（1）求轨道方程的参数λ和ε值；（2）利用开普勒第三定律计算沿此轨道到达火星轨道所需时间．

www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

高考资源网（ks5u.com） …… 此处隐藏：1616字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……