数学分析 刘三阳 第二讲习题解答(3)

cos?n?1?cos?n?2?cos?n?p? xn?p?xn???...?n?1n?2n?p222p1??1??1????n?1?2??2??111???1??

?n?1?n?2?...?n?p?n122221?211n?11（2）xn?1???...???1?

23n??? 解 ?p，???0，取N???,当n?N时，有xn?p?xn?n?1n???2 满足下列条件的数列?xn?是不是柯西数列？ （1）?p?N，limxn?p?xn?0

n???1?11解 limxn?p?xn?0????0,?N,n?N时，?p?N，xn?p?xn??

n??（2）xn?1?xn?kxn?xn?1?0?k?1?

xn?p?xn?xn?p?xn?p?1?xn?p?1?xn?p?2?xn?p?2?...?xn?1?xn

??kn?p?2?kn?p?3?...?kn?1?x2?x1?故limxn?p?xn?0，故?xn?是柯西列。

n??kn?1?1?kp?1?kx2?x1

（3）

?xk?1nk?1?xk?M

N,当?xk，则?yn?单调递增有上界，故?yn?收敛，故???0,?解 令yn??xk?1nk?1m?1?n?1?N时，有ym?1?yn?1??。故xm?xm?1?xm?1?xm?2?...?xn?1?xn??，

于是???0,?N,当m?n?N?1时，有xm?xn??。故?xn?是柯西列。

3 证明limf?x?存在的充要条件为???0,?X?0，当x?,x??\?X时，恒有

x???f?x???f?x???\??。

证明：必要性。设limf?x??A????0,?X,当x?X时有f?x??A?x????2

故当x?,x??\?X时，有

f?x???f?x????f?x???A?A?f?x????f?x???A?A?f?x?????

充分性。???0,?X?0，当x?,x??\?X时，恒有f?x???f?x?????2。

设xn???n???，则???0,?N,当n?N时，有?p,fxn?p?f?xn??故数列f?xn?收敛，不妨设limf?xn??A。当n?N时，

n??????2

??A?f?xn??limf?xn?p??f?xn??p???2。

即当x?X时，取n?N,则xn?X，有

f?x??A?f?x??f?xn??f?xn??A?f?x??f?xn??f?xn??A??

故limf?x?存在。

x???注：也可利用第四节第6题的结论直接给出证明。