数学分析 刘三阳 第二讲习题解答

数学分析选讲

刘三阳 于力 李广民 遍

习题2—1

1、若自然数n不是完全平方数，证明n是无理数。 证明：若n不是无理数，设n?pp,q?N,且p,q互质?，于是 ?qnq2pp?nq??p?p2

pnq22而

?p,q互质??，故p不整除q?p整除n，记n?pss?N?p???n，故sn222?nq?n?qs，即n为完全平方数，矛盾。假设不成立。 ??s22、设a,b是两个不同的实数，证明a,b之间一定存在有理数。 证明：不妨设a?b，则存在m?N，使得

?m?1?m?b?a??1?mb?ma?1 b?a又因为存在整数n，使得n?1?ma?n

?ma?n?ma?1nn由??ma?n?mb?a??b,m?N?,n?Z，是有理数。

mm?ma?1?mb3、设x为无理数，证明存在无穷多个有理数

pp1?p,q?Z,q?0?，使得x??2， qqq证明：假设只有n个有理数满足x?p1?2，设为a1,a2???an,其中ai?i?1,2???n?为有理qqai?1?aia?a?ai，而i?1i为有理数，22数，且a1?a2?????an,对于区间?ai?1,ai?显然ai?1?且 x?ai?1?ai11?a?a?????a?????a?x? 12inq22q2ai?1?ai满足要求，故假设不成立。 2习题2—2

1、求下列数集的上，下确界

?1???1??1?，下确界为0（达到） ? 上确界为1（不达到）

n?n????1?，下确界为2（达到） ?2???1??n?N??上确界为e（不达到）

n???????3?????1??n?1n?1，下确界为-1（不达到） ??1???上确界为1（不达到）

n??4??y?x2,x????1,???1????上确界为1（不达到）下确界为0（达到） 2??22、 设E?x,x?2,x?Q,验证infE??2 ??证明：?1? ?x?E,x2?2?x??2，即?2是E的一个下界

?2?若?2??2?2，则由有理数集在实数系中的稠密性，存在x???2,?2，且x?为有理数，于是?2?x???2?2?x?2?2，即存在x??E,x???2,故?2不是E的下界。

3、用定义证明上（下）确界的唯一性

证明一：假设?1,?2均为下确界，且?1??2，不妨设?1??2。由于?1是下确界，则对

?????2??1?0，必存在x?E,使得x??1????2，这与?2是下确界矛盾。

4、试证收敛数列必有上确界和下确界，且上、下确界至少有一个属于该数列，趋于??的数列必有下确界，趋于??的数列必有上确界。

证明：1? 由于收敛数列必定有界。根据确界存在原理，该收敛数列必有上确界和下确界。 2? 若limxn?A，则对于各项均为常数A的数列，其上下确界显然均属于该数列。

n?? 对于各项不恒为常数的数列，记limxn?A，则或?1?存在xi?A,或?2?存在xj?A,或?3?n??这种xi,xj都存在。作A的充分小的邻域使它不包含xi,或不包含xj，或xi,xj均不在此邻域内。 在这三种情况下，这个邻域的外部都只有?xn?中的有限个元素，则?1?将达到上确界，?2?将达到下确界，?3?上下确界均可达到。由1?，2? 可得，上下确界将至少有一个属于该数列。

3? 设xn????n???，则?N，当n?N时，xn?x1，取??min?x1,x2,???xn?，

则??min?xn??inf?xn?。

n?1若xn???,?N,n?N时，xn??x1，于是取??max?x1,x2,???xn?，则

??max?xn??sup?xn?。

5、 证明：单减有下界的数列必有极限。

证明：设数列?yn?单减有下界，由确界存在原理，必有下确界，设??inf?yn?，由下确界定义可知：

使得yN????。因?yn?单减，故当n?N时，yn?yN，?1? yn??，?2?对???0,?yN，

即??yn?yN?????0?yn????，即yn???n???。

习题2—3

1、 用区间套证明：有下界的数集必有下确界。

证明：设?是E的一个下界，而?不是E的下界???? 令C1?1?????，若C1是E的下界，则取?1?C1,b1?? 2 若C1不是E的下界，则取?1??,b1?C1 令C2?1?a1?b1?，若C2是E的下界，则取a2?C2,b2?b1 2 若C2不是E的下界，则取a2?a1,b2?C2

重复上述步骤，得到一闭区间套?an,bn?满足：an是E的下界，bn不是E的下界。 由闭区间套定理，????an,bn?，且liman?limbn??。

n??n????下证??infE。

① 对?x?E，由于an是E的下界推出x?an，而liman??。

n??把x视为常数列，由极限的单调性知x??，即?是E的一个下界。

imbn???，当n充分大时，bn???，而bn不是E的下界，故?? 也② ?????，即??ln??不是E的下界。由??的任意性知，任何比?大的数均不是E的下界。 综合①②，?是E的下确界。

2、设f?x?在?a,b?上无界，证明必定存在x0??a,b?，使得f?x?在x0的任意邻域内无界。证明：反证法，若?x??a,b?，存在x的某一邻域，使得f?x?在此邻域内有界，对于a，由于在x?a的某一邻域内有界，故在该邻域内取x?a1，使得a?a1?b，于是在?a1,a?内

f?x?有界。对于b由于在x?b的某一邻域内有界，故在该邻域内取x?b1，使得a1?b1?b，于是在区间?b1,b?内f?x?有界。

重复上述步骤，得到一区间套定理，存在

??a,b??满足：f?x?在?a,an?及?bn,b?内有界。由区间套

nn???an,bn?，故f?x?在?a,??,??,b?上有界，对于x??点，

???an,bn???a,b?，f?x?在?的某一邻域内也有界，从而f?x?在整个区间?a,b?上有

界，矛盾。

3、设f?x?，g?x?在?0,1?上满足f?0??0,f??1?，若g?x?在?0,1?上连续0f?x??g?x?在?0,1?上单增，证明存在???0,1?，使f???=0。

证明：记?a1,b1???0,1?，且有f?a1??0,f?b1??0 令c1?1?a1?b1?，若f?c1??0，则存在c1??0,1?，使f?c1??0，得证。 2若f?c1??0，则取a2?c1,b2?b1 若f?c1??0，则取a2?a1,b2?c1 令c2?1?a1?b1?，若f?c2??0，则原命题得证。 2若f?c2??0，则取a3?c2,b3?b2 若f?c2??0，则取a3?a2,b3?c2

重复上述步骤，得到一闭区间套?an,bn?，且具有一下性质：f?an??0,f?bn??0 若在此过程中某一中点cn，使f?cn??0，结论成立。 否则由区间套定理，?E??an,bn?，使得liman?limbn??。

n??n????下证f????0

an???bn，f?x??g?x?在?0,1?上单增，

故f?an??g?an??f故g?an??f????g????f?bn??g?bn?，又f?an??0,f?bn??0,

????g????g?bn?。

x??由归结原理limg?an??limg?x?=g???

n?? limg?bn?=limg?x?=g???

n??x??令n??，有g????f????g????g???，从而f????0。

习题 2—4

1 、证明下列数列发散。 ① xn?1n123nn?1n???1?n?N?? ② yn??????????1??22n?1nnnn解 ① 当n为奇数时lim???1n??2?n?11n??1，当为偶数时?0lim????1， n?n???22n?12n?1???22?奇子列和偶子列收敛于不同的数，故?xn?发散。 ②n为奇数时

??12???1?n?1?11?n?2n?1?n?limyn?lim????????????lim???1?? ??n??????n??n??n?n?22?n??nn???n?2?当n为偶数时 limyn?lim??n????12???1?n?1?n?1n?????????????lim????????

n??n??n????n?2?2?n??nn?奇子列和偶子列收敛于不同的数，故?yn?发散。

2、证明单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列。 证明：仅证单调递增数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列。 ⅰ???单增数列收敛，其自身将是它的一个收敛子列，必要性得证

ⅱ???设单增数列?xn?有一个收敛子列xnk因为子列xnk也是单增数列，所以它的极限即为上确界limxnk?a?a?supxnkk??????????

??下证a?sup?xn?

① ?xn，若n?nk，则xn?xnk?a，而a?supxnk?xn?xnk?a