数学分析 刘三阳 第二讲习题解答(2)

由于n?N，?n，能找到nk，使得n?nk，而xn?xnk?a，即?xn，有xn?a。

??k使xnk?a??，而?xn?单增，?xn??n??nk??，有xn??xnk??a??， ② ???0,?xn由①，②可知a?sup?xn?

limxnk?a????0,?k?K,有xnk?a??，取N?nk，则n?N?nk时有xn?xnk

k??于是a???xnk?xn?a，即xn?a??即???0,?N?nk,当n?N时，xn?a??， 故limxn?a，充分性得证

n??3、设lim?asinx?bcosx?存在，证明a?b?0。

x??证明 lim?asinx?bcosx?存在，设为A，由归结原理，当xn?2n?,xn?2n??x???3?,xn?2n?? 22时，且当n??,asinxn?bcosxn?A故

????????A?lim?asin2n??bcos2n??limasin2n???bcos2n???????????? ?n???n???22???????3???lim?asin2n?1??bcos2n?1??limasin2n????????n????n???2?? ?A?b?a??b??a?a?b?0 4、在x0的某邻域内g?x??3????bcos2n????2????????f??x??h?且xlimg?x??limh?x??A，证明：

x?x0x?x0x?x0limf?x??A。

x?x0x?x0x?x0x?x0证明?xn?x0 xn?x0 limg?x??limh?x??A?limg?xn??limh?xn??A，当n充分大时，xn将落在x0的某个邻域之内，从而g?xn??f?xn??h?xn?。令n??，由夹逼准则limf?xn??A，再由归结原理有limf?x0??A。

n??x?x05、设f?x?在x0的某个邻域?x0??,x0???内有定义，若对任意满足下列条件的数列

?xn???x0??,x0???,xn?x0?n???,0?xn?1?x0证明limf?x??A?xn?。

x?x0?xn?x0，都有limf?xn??A，

n??证明 若limf?x??A，则??0?0，???0,?x，当0?x?x0??时，f?x??A??0

x?x0取?1?1，存在x1，当0?x1?x0?1时，f?x1??A??0

取?2?x1?x0,?x2,，当0?x2?x0?x1?x0时，f?x2??A??0

? ?

?取?n?xn?1?x0,?xn,，当0?xn?x0?xn?1?x0时，f?xn??A??0 取?n?1?xn?x0,?xn?1,，当0?xn?1?x0?xn?x0时，f?xn?1??A??0 继续下去可得数列满足limxn?x0，且0?xn?1?x0?xn?x0使得

n??f?xn??A??0。这与limf?xn??A矛盾。

n??6、证明：limf?x??A的充要条件时：对每个严格单调递增的正无穷大的数列?xn?都有

x??limf?xn??A。

x??证明：必要性。limf?x??A????0,?X,当x?X时，f?x??A??

x??limxn???,则对于G?X,?N,当n?N时有xn?G?X，故f?xn??A??，即

n??limf?xn??A。

x??充分性。设limf?x??A???0?0,?X,?x,当x?X时，f?x??A??0

x??取X1?1,?x1?1,f?x1??A??0 取X2?x1,?x2?x1,f?x2??A??0 …………

取Xn?xn?1,?xn?xn?1,f?xn??A??0

继续下去可得到一严格单增的数列?xn?,xn???,f?xn??A??0,矛盾。

习题 2—5

1、设?an?是有界数列，若?bn?满足lim?an?bn??0，证明存在l和子列ank,bnk，使

x??????limank?l?limbnk。

k??k??证明 因?an?是有界数列，由致密性定理，存在收敛子列ank，设limank?l。因为

k????lim?an?bn??0，故?an?bn?收敛，故必有界），因此存在收敛子列ank?bnk，再由

x????lim?an?bn??0可得子列 ank?bnk满足limank?bnk?0，从而limank?l?limbnk。

x????x????k??k??????,?x???收敛于不同的极限。

????证明 由于数列?x?有界，于是必存在收敛子列。若??x?,?x?收敛于相同的极限，则

2 、有界数列?xn?发散，证明：存在两个子列xnn12'kn'k12n'kn'k?xn?将收敛，矛盾。

补充证明：若?为点集S的聚点，则S中含有异于?的数列收敛于?

证明：根据聚点定义：???0，则???,??中至少存在S中的异于?的一个点。 取?1?1,，则?x1??,r?x1,????1?1

取?2?min?,r?x1,???，则?x2??,r?x2,????2 …………

取?n?min?,r?xn,???,，则?xn??,r?xn,????n 得到S中的一个点列?xn?满足条件：

?1?2???1?n??0?r?xn,???r?xn?1,???????r?x1,???1 ①

0??r?xn,???1 ② n在②中令n??，有r?xn,???0，即xn?? 即S中存在异于?的点列?xn?收敛于??n???。 反之，结论也正确。

S中存在异于?的点列?xn?收敛于?????0,?N,当n?N时，证明：0?r?xn,????，

取n?N?1，有0?r?xN?1,????即???0,U??,??中至少存在S中异于点?的点xN?1，由聚点的定义，?为点集S的聚点。

习题 2—6

1 、设f?x?在?a,b?内有定义，a?c?d?b，若?x??c,d?，?Mx?0及?x?0，使得

x?，x????x??x,x??x?，有f?x???f?x????Mxx??x??。证明：

?M?0,?x?,x????c,d?，有f?x???f?x????Mxx??x??。

证明 因为?x??c,d?,???x?,x??,Mx?且0?x?0，使x?,x????x??x,x??x?时

f?x???f?x????Mxx??x??。在?c,d?上每一点都找到这样的??x,?x?，这些开区间的

全体覆盖?c,d?。由有限覆盖定理，必存在有限个开区间覆盖?c,d?。记为

?x??1x1,x1??x1,x2??x2,x2??x2???xk??xk,xk??xk，设x1?x2????xk，且相应的

?????Mx为Mx1,Mx2,???Mxk且显然有xi??xi?xi?1??xi?1

①若x?,x??属于xi??xi,xi??xi???????1?i?k?，则

f?x???f?x????\Mxix??x???Mx??x???M?max?Mi??

②若x?,x??属于不同的邻域，设x??x??，且x???xi??xi,xi??xi?，

???xk?1??xk?1,xk??xk??k?i,i?1???j?可得 x????xj??xj,xj??xj?，取xkf?x???f?x????f?x???f?xi???f?xi??????f?x?j??f?x????f?x???f?xi?? ?f?xi???f?xi??1?????f?x?j??f?x????Mxix??xi??????Mxjx?j?x?? ?Mxi?Mxi?1?????Mxjx??x???Mx??x??M?Mx1?Mx2?????Mxk

综上①②原命题得证。

2设f?x?在?a,b?上连续且恒正，试用有限覆盖定理：f?x?在?a,b?上有正的下界。 证明：在?x0处，有limf?x??f?x0??0，根据实数的稠密性，?Mx0，使得

x?x0??x?x0limf?x??f?x0??Mx0?0，由

??x0,?x0，使?x??x0,?x0，

????有f?x??Mx0再根据x0的任意性，在?a,b?上每一点均能找到这样的??x,?x?，这些开区间的全体构成一开区间，且覆盖?a,b?，由有限覆盖定理，必存在有限个邻域覆盖?a,b?，设为x1??x1,x1??x1???xk??xk,xk??xk，相应的Mx0为Mx1,Mx2???MxkMxi?0，取

??????M?minMx1,Mx2???Mxk，显然M?0，对

???x??a,b?，有f?x??min?Mx1,Mx2,???Mxk??M，即证f?x?存在正的下界。

3 用有限覆盖定理证明闭区间套定理 证明：

（1）证明闭区间套存在公共点?。假设不存在公共点。则?x，存在开邻域?x，至少有某 一个??an0,bn0??与?x不相交，于是n?n0时，?an,bn?更与?x不相交。由有限覆盖定理，存在有限开区间?1,?2,????m把闭区间?a1,b1?覆盖。 由上可知，?N1，当n?N1时，?1与?an,bn?均不相交 ?N2，当n?N2时，?2与?an,bn?均不相交 ?

?Nm，当n?Nm时，?m与?an,bn?均不相交

取N?max?N1,N2???Nm?，当n?N时，?1,?2,????m均与?an,bn?不相交，即?a1,b2?与这些?an,bn?不相交，这与?an?1,bn?1???an,bn?矛盾。

（2） liman?limbn??，因?是?an,bn?的公共点，即?n，有???an,bn?即

n??n??an???bn?0???an?bn?an，而由lim?bn?an??0可知，lim???an??0，

n??n??而liman??，又lim?bn?an??0，故

n??n??limbn?lim???bn?an??an???lim?bn?an??liman???liman?limbn??。

n??n??n??n??n??n??（3）唯一性；设存在????an,bn??an????bn，但是liman?limbn??，由夹逼准则，

n??n??令n??，有????。

习题2-7

1 用柯西收敛原理判定下列数列的收敛性。 （1）xn?cos1cos2cosn?2?....?n 2221??????0 …… 此处隐藏：2500字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……