空间解析几何复习资料

空间解析几何练习题

1. 求点M(a,2. 设 A(?3,3. 证明 A(1,b,c)分别关于（1）xz坐标面（2）x轴（3）原点 对称点的坐标．

x,2)与B(1,?2,4)两点间的距离为29，试求x．

2,3) B(3,1,5) C(2,4,3)是一个直角三角形的三个顶点．

4. 设?ABC的三边BC?a，CA?b，AB?c，三边的中点依次为D，E，F，试用向

量abc表示 AD，BE，CF，并证明：AD?BE?CF?0 ．

5. 已知：a?i?j?2k，b?3i?j?k求2a?3b，2a?3b．

6. 已知：向量a与x轴，y轴间的夹角分别为??60，??1200求该向量a与z轴间

的夹角?．

7. 设向量a的模是5，它与x轴的夹角为

0?，求向量a在x轴上的投影． 43,5)，C(3,?1,?2)计算：

8. 已知：空间中的三点A(0,?1,2)，B(?1,2AB?3AC，AB?4AC．

9. 设a??2,10. 设：a??2,0,?1?，b??1,?2,?2?试求a?b，2a?5b，3a?b． ?2,1?，试求与a同方向的单位向量．

11. 设：a?3i?5j?2k，b?2i?4j?17k，c?5i?j?4k，u?4a?3b?c 试求（1）u在y轴上的投影；（2）u在x轴和z轴上的分向量；（3）u ． 12. 证明：(a?b)?(a?b)?a?b． 13. 设：a??3,??220,?1?，b???2,?1,3?求a?b，(a?b)．

?????????14. 设a?2i?xj?k，b?3i?j?2k且a?b求x 15. 设a??0,1,?2?，b??2,?1,1?求与a和b都垂直的单位向量．

0)，B(?2,1,3)，C(2,?1,2)求?ABC的面

16. 已知：空间中的三点A(1,1,积．

17. （1）设a∥b求a?b （2）若a?b?1求a?b

18. 设a?3，b?5，试确定常数k使a?kb，a?kb相互垂直．

?19. 设向量a与b互相垂直，(a?c)?c?3求a?b?c．

?3?，(b?c)??6，且a?1，b?2，

20. 设：a?i?3j?5k，b??2i?j?3k求a?b 21. 设：a?3i?6j?k，b?i?4j?5k求（1）a?a； （2）(3a?2b)?(a?3b)；（3）a与b的夹角．

?22. 设：(a?b)?23. 设：a??1,??6且a?1，b?3，求a?b．

（1）a?b；（2）a?b； ?1,2?，b???1,?2,1?，试求：

（3）cos(a?b)．

24. 已知：a?3，b?26，a?b?72，求a?b．

25. 设a与b相互垂直，且a?3，b?4，试求（1）(a?b)?(a?b)； （2）(3a?b)?(a?2b)．

26. 设：a?b?c?0证明：a?b?b?c?c?a 27. 已知：a?3i?2j?k，b?i?j?2k，求（1）a?b； （2）(a?2b)?(2a?3b)；（3）(a?b)?i（4）a?i?b． 28. 求与a??2,29. 已知：a??3,2,1?b???8,?10,?6?都垂直的单位向量． ?6,?1?，b??1,4,?5?，c??3,?4,12?求

(a?c)b?(a?b)c在向量c上的投影．

30. 设：a?b?c?d，a?c?b?d且b?c，a?d证明a?d与b?c必共线． 31. 设：a?3b与7a?5b垂直，a?4b与7a?2b垂直，求非零向量a与b的夹 角．

32. 设：a??2,?3,6?b???1,2,?2?向量c在向量a与b的角平分线

上，且c?342，求向量c的坐标．

?33. 设：a?4，b?3，(a?b)?积．

34. 求过点P0(7,35. 过点P0(1,36. 过点M(1,37. 过点A(3,?6求以a?2b和a?3b为边的平行四边形面

2,?1)，且以n??2,?4,3?为法向量的平面方程．

0,?1)且平行于平面x?y?3z?5的平面方程．

?3,2)且垂直于过点A(2,2,?1)与B(3,2,1)的平面方程． ?1,2)，B(4,?1,?1)，C(2,0,2)的平面方程．

38. 过点P0(2,1,1)且平行于向量a??2,1,1?和b??3,?2,3?的平面方程．

39. 过点Mo（1，?1，1）且垂直于平面 x?y?z?1?0及2x?y?z?1?0的平面方

程．

40. 将平面方程 2x?3y?z?18?0 化为截距式方程，并指出在各坐标轴上的截距． 41. 建立下列平面方程

（1）过点（?3，1，?2）及z 轴；

（2）过点A（?3，1，?2）和B（3，0，5）且平行于x 轴； （3）平行于x y 面，且过点A（3，1，?5）；

（4）过点P1（1，?5，1）和P2（3，2，?2）且垂直于x z 面．

42. 求下列各对平面间的夹角

（1）2x?y?z?6， x?y?2z?3；

（2）3x?4y?5z?9?0，2x?6y?6z?7?0． 43. 求下列直线方程

（1）过点（2，?1，?3）且平行于向量s???3，?2，1?； （2）过点Mo(3，4，?2)且平行z 轴； （3）过点M1（1，2，3）和M2（1，0，4）； （4）过原点，且与平面3x?y?2z?6?0垂直． 44. 将下列直线方程化为点向试方程

（1）??x?2y?3z?4?0?x?2y?2； （2）?；

?3x?2y?4z?8?0?y?z?4?3x?2z?1?0

?y?z?0（3）?45. 将下列直线方程化成参数式方程

?x?6z?1??x?5y?2z?1?0? （1）?； （2）?25．

?5y?z?2??y?2?046. 求过点（1，1，1）且同时平行于平面x?y?2z?1?0及x?2y?z?1?0 的直线方程．

x?4y?3z??的平面方程． 521x?1y?1z?1x?1y?1z?1????48. 求通过两直线 与 的平面方程． 1?12?12147. 求过点（3，1，?2）且通过直线 64．求下列各对直线的夹角 （1）

x?1yz?4x?6y?2z?3????，； 1?2751?1 （2）??5x?3y?3z?9?0?2x?2y?z?23?0，?．

?3x?2y?z?1?0?3x?8y?z?18?0x?1yz?1?? 与 4?1349. 证明直线

?x?7y?z?0 相互平行． ?x?y?z?2?0?50. 设直线 l的方程为：

x?1y?3z?4?? 求n为何值时,直线l 与平面1?2n2x?y?z?5?0 平行？

51. 作一平面，使它通过z 轴，且与平面2x?y?5z?7?0的夹角为52. 设直线l在平面?:x?y?z?1?0 内，通过直线l1:?与平面?的交点，且与直线l1垂直、求直线l的方程．

53. 求过点（1，2，1）而且与直线

?． 3?y?z?1?0

?x?2z?0?x?2y?z?1?0 与 ?x?y?z?1?0??2x?y?z?0 平行的平面方程． ?x?y?z?0?54. 一动点到坐标原点的距离等于它到平面z?4?0的距离，求它的轨迹方程． 55. 直线l:??2x?y?1?0 与平面?:x?2y?z?1?0 是否平行？若不平行，求直线l

?3x?z?2?0与平面?的交点，若平行，求直线l与平面?的距离．

?x?3?4tx?1yz?5???56. 设直线l经过两直线l1:，l2:?y?21?5t 的交点，而且与直线?18?3?z??11?10t?l1与l2都垂直，求直线l的方程．

?x?y?z?1?057. 已知直线：l1:? 及点 p(3，?1，2) 过点p作直线l与直线l1垂直相

2x?y?z?4?0?交，求直线l的方程．

58. 方程：x2?y2?z2?4x?2y?2z?19?0 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．

59. 判断方程：x2?y2?z2?2x?6y?4z?11 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．

?z2?5x60. 将曲线：? 绕x 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程．

?y?0?4x2?9y2?3661. 将曲线：?绕y 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程．

z?0?62. 说明下列旋转曲面是怎样形成的

x2y2z2y22?z2?2； ???10； （2）x? （1）

4343 （3）x?y?z?1； （4）(z?a)?x?y． 63. 指出下列方程在空间中表示什么样的几何图形

222222x2y2??1； （1）3x?4y?1； （2）2322z2?1． （3）z?4x； （4）4y?322