一次函数（知识点+题型）

初二（上）数学 知识改变命运创造未来

【教学标题】一次函数 【教学目标】

1、 正比例函数和一次函数的概念及性质，知道正比例函数和一次函数的图像形状、位置与

解析式的关系，会用待定系数法确定函数的解析式，能运用函数知识解决一些实际问题； 2、 掌握数学解题的几种常用方法：数形结合、分类讨论、待定系数法等； 3、提高分析问题和应用函数知识解决实际问题的能力。

【重点难点】

一次函数与面积相关题型 【教学内容】

1、一次函数和正比例函数（重点）

一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中k一次项系

1数（以后的学习中我们常称作斜率），例如y=2x-1，y=2x等都是一次函数。特别地，当一

次函数y=kx+b中的b为0时，函数y=kx（k是常数，k≠0）叫做正比例函数。例如y=2x，y=-3x等都是正比例函数。

正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数。一次函数和正比例函数的关系如图所示，就像等边三角形与等腰三角形的关系一样。 例1：下列函数，那些是一次函数？哪些是正比例函数？

x8y??y??2y?8x?x(1?8x)3x（1）；（2）；（3）；

一次函数 正比例函数 1?8x. （4）y?解析：形如y=kx（k≠0）的函数，既是正比例函数，又是一次函数，因为正比例函数是特殊的一次函数。

m?8y?(m?3)x?1例2：已知，当m为何值时，y是x的一次函数？

2解析：一次函数y=kx+b中一次项系数k≠0，在解决这类题目是不要忽略这个条件。本题中

28?1m?3?0此外，本题中x的指数m?。

n-1

例3：要使y=(m-2)x+n是关于x的一次函数,n,m应满足 , .

1

初二（上）数学 知识改变命运创造未来

2、一次函数的图像及画法： （1）一次函数的图像

?2x?1x?1通过描点发画出：y?2x；y?2；y?的函数图像

我们通过画一次函数的图像发现：任何一个一次函数的图像都是一条直线，且具有以下特点：

① 正比例函数y=kx（k≠0）的图像是经过原点（0，0）和（1，k）两点的一条直线。也就是说在平面直角坐标系里过原点(与x轴和y轴不重合)的直线是正比例函数的图像。 ② 画正比例函数的图像时：过（0，0）、（1，k）两点画一条直线即可。

③ 一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图像是经过点（0，b）且和直线y=kx平行的一条直线。由图像特点可以区别一次函数和正比例函数的图像。 （2）一次函数图像的画法：

由于两点确定一条直线，因此，画一次函数的图像使用之前学过的描点法，只需要要确定两点即可。所以在直角坐标系里，画一次函数或正比例函数的图像时，先描出适合解析式的两个点，再连成线就得到了一次函数或正比例函数的图像。 （3）实际问题中的一次函数图像：

在实际问题中，由于自变量x的取值范围受到一定的限制（比如涉及到实际问题x一般都是取正值），一次函数的图像就不是一条直线了，有时是一条射线或线段或直线上的部分点构成的，主要看自变量x的取值范围。 例1：在同一直角坐标系里画出下列函数的图像。 （1） y=2x与y=2x+3；

1（2） y=2x+1与y=2x+1

解析：选两点以计算和描点简单为原则。一般地，当b≠0时，画一般的一次函数的y=kx+b

b的图像时，应选择它与两坐标轴的交点：（0，b）和（k，0）；画正比例函数时，通常选

?22取（0，0）、（1，k）两点。例如画正比例函数y=3x的图像，可以选择（0，0）、（1，3）

两点，或是（0，0）、（3，2）两点。

观察本题中得到的图像，可以看出：直线y=k1x与直线y=k2x+b，若k1=k2时，两条直线平

2

初二（上）数学 知识改变命运创造未来

行。因此，画一次函数y=kx+b的图像除了上述的方法外，还可以将y=kx沿y轴平移单位长度而得到（当b＞0，向上平移；当b＜0，向下平移）。

b个

11例2：画正比例函数y=3x与y=-3x的图像。

解析：画正比例函数y=kx的图像，通常选择（0，0）、（1，k）两点。

1观察本题中得到的图像，可以得到两个正比例函数都经过（0，0）点，当k=3＞0，图像过1一、三象限，直线由左向右y值在增大，即y随x 的增大而增大；；当k=-3＜0时，图像

过二、四象限，直线由左向右y值在下降，即y随x 的增大而减小。 例3：在同一直角坐标系里画出一次函数y=2x+1和y=-2x+1的图像。

解析：y=2x+1和y=-2x+1都是b≠0的一次函数，画这样的一次函数图像，通常选取（0，b）

b和（k，0）两点。

?3、一次函数和正比例函数的图像性质（重点）

（1）一次函数y=kx+b的图像是经过点（0，b）的直线，这个点是直线y=kx+b和y轴的交点。当b＞0，此交点在y轴的正半轴上；当b＜0，此交点在y轴的负半轴上；当b=0，此交点在原点，此时一次函数就是正比例函数。

（2）正比例函数y=kx的图像是经过原点（0，0）的直线。

（3）一次函数y=kx+b的图像，当k＞0，直线由左向右y值在增大，即y随x 的增大而增大；当k＜0，直线由左向右y值在下降，即y随x 的增大而减小。

例1：已知一次函数y=（6+3m）x+（m-4），y随x的增大而增大，函数的图像与y轴的交点在y轴的负半轴上，求m的取值范围。

解析：根据一次函数图像的性质可知：6+3m＞0，且m-4＜0，解这两个不等式，求公共解即可。

?(mx?4)?m?2例 2：已知m是整数，且一次函数y的图象不过第二象限，则m为 .

???xa例 3：若直线y和直线y?x?b的交点坐标为(m,8)，则a?b? .

例4：在同一直角坐标系内，直线

=-2x+3y=x+3与直线y都经过

3

初二（上）数学 知识改变命运创造未来

点 .

=-2x+2m-5例5：当m满足 时，一次函数y的图象与y轴交于负半轴.

y?例6：函数

3x?12，如果y?0，那么x的取值范围是 .

例7：已知函数y=（k-1）x+k2-1，当k_______时，它是一次函数，当k=_______?时，它是正比例函数．

1y??x?52例8：如图1是函数的一部分图像，（1）自变量x的取值范围

是 ；（2）当x取 时，y的最小值为 ；（3）在（1）中x的取值范围内，y随x的增大而 . 例9：已知一次函数（1）（2）（3）

y=(6+3m)xn+(-4),求：

m为何值时，

y随

x的增大而减小；

轴的交点在

m,n分别为何值时，函数的图象与yx轴的下方？

m,n分别为何值时，函数的图象经过原点？

m=-1,n=-2时，设此一次函数与x轴交于A，与

（4）当面积。

y轴交于B，试求△OAB

4、直线y=kx+b的位置与k、b之间的关系（难点）

直线y=kx+b的位置是由k和b的符号决定的，其中k决定直线从左到右呈上升趋势还是下降趋势（两种情况）；b决定直线与y轴交点的位置，是在正半轴上还是在负半轴上，还是在原点上（三种情况）。k和b综合起来决定直线y=kx+b在平面直角坐标系中的位置有以下六种情况：

（1）k＞0，b＞0 直线经过第一 …… 此处隐藏：2408字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……