2013年江苏南京中考数学试题与解答(全word版)

南京市2013年初中毕业生学业考试

数 学

注意事项：

1. 本试卷共6页。全卷满分120分。考试时间为120分钟。考生答题全部答在答题卡上，答 在本试卷上无效。

2. 请认真核对监考教师在答题卡上所黏贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符，再将自 己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。

3. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置， 在其它位置答题一律无效。

4. 作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

一、 选择题 (本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1. 计算12 7 ( 4) 8 ( 2)的结果是 (A) 24 (B) 20 (C) 6 (D) 36 2. 计算a3．( a )2的结果是 (A) a (B) a5 (C) a6 (D) a9

3. 设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法： a是无理数； a可以 用数轴上的一个点来表示； 3<a<4； a是18的算术平方根。其中，所有正确说法的 序号是

(A) (B) (C) (D)

4. 如图，圆O1、圆O2的圆心O1、O2在直线l上，圆O1 的半径为2 cm，圆O2的半径为3 cm，O1O2=8 cm。 圆O1以1 cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止 运动，在此过程中，圆O1与圆O2没有出现的位置关 系是 (A) 外切 (B) 相交 (C) 内切 (D) 内含

1

5. 在同一直线坐标系中，若正比例函数y=k1x的图像与反比例函数y= x 则 (A) k1 k2<0 (B) k1 k2>0 (C) k1k2<0 (D) k1k2>0

6. 如图，一个几何体上半部为正四棱椎，下半部为立方体，且有一个面涂 有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是

(B) (D)

二、填空题 (本大题共10小题，每小题2分，共20分。不须写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卡相应位置上)

7. 3的相反数是； 3的倒数是

k

8. 计算

3

2

1

的结果是 。 2

9. 使式子1

1

x的取值范围是 。 x 1

10. 第二届亚洲青年运动会将于2013年8月16日至24日在南京举办，在此期间约有13000 名青少年志愿者提供服务，将13000用科学记数法表示为。 11. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A’B’C’D’的位置， D 旋转角为 (0 < <90 )。若 1=110 ，则 ’

B’C

’ 12. 如图，将菱形纸片ABCD折迭，使点A恰好落在菱形的对 称中心O处，折痕为EF。若菱形ABCD的边长为2 cm，

A=120 ，则EF。

13. △OAB是以正多边形相邻的两个顶点A、B与它的中心O为顶点的三角形。若△OAB的

一个内角为70 ，则该正多边形的边数为

14. 已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出 方程：

15. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，AC与BD相交 于点P。已知A(2, 3)，B(1, 1)，D(4, 3)，则点P的坐标为。

16. 计算(1 2 3 4 5 )( 2 3 4 5 6 ) (1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 )的结果 是

三、解答题 (本大题共11小题，共88分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤) 17. (6分) 化简(

1 b a

。 a b a b a b 2x 1

=1 。 x 2 2 x

D

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

18. (6分) 解方程

19. (8分) 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分

ABC，P是BD上一点，过点P作PM AD，PN CD，垂 足分别为M、N。

(1) 求证： ADB= CDB；

(2) 若 ADC=90 ，求证：四边形MPND是正方形。

20. (8分)

(1) 一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个，这些球除颜色外都 相同。求下列事件的概率：

搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；

搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1 个球，两次都是红球；

(2) 某次考试有6道选择题，每道题所给出的4个选项中，恰有一项是正确的，如果小明 从每道题的4个选项中随机地选择1个，那么他6道选择题全部选择正确的概率是 (A) 4 (B) ( 4 )6 (C) 1 ( 4 )6 (D) 1 ( 4 )6

21. (9分) 某校有2000

某校150名学生上学方式

频数分布表

某校150名学生上学方式

扇形统计图 步行 乘私家车20% 骑车

34%

乘公共 交通工具 30%

1 1 1 3

(1) 理解画线语句的含义，回答问题：如果150名学生全部在同一个年级抽取，这样的抽 样是否合理？请说明理由：

(2) 根据抽样调查的结果，将估计出的全校2000名学生上学方式的情况绘制成条形统计 图；

某校2000名学生上学方式条形统计图

乘私家车 交通工具

(3) 该校数学兴趣小组结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议。如：骑车上学的学 生数约占全校的34%，建议学校合理安排自行车停车场地。请你结合上述统计的全过 程，再提出一条合理化建议：。

22. (8分) 已知不等臂跷跷板AB长4m。如图 ，当AB的一端碰到地面时，AB与地面的夹 角为 ；如图 ，当AB的另一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为 。求跷跷板AB的支 撑点O到地面的高度OH。(用含 、 的式子表示)

23. (8分) 某商场促销方案规定：商场内所有商品案标价的80%出售，同时，当顾客在商场内

注：300~400表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其它类同。

根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如，若购买标价为400元的 商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400 (1 80%) 30=110(元)。 (1) 购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？

(2) 如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商 品的标价至少为多少元？

24. (8分) 小丽驾车从甲地到乙地。设她出发第x min时的速度为y km/h，图中的折线表示她 在整个驾车过程中y与x之间的函数关系。 (1) 小丽驾车的最高速度是km/h；

(2) 当20 x 30时，求y与x之间的函数关系式，并求出小丽出发第22 min时的速度； (3) 如果汽车每行驶100 km耗油10 L，那么小丽驾车从甲地到乙地共耗油多少升？

y

0 0 0 0 0

25. (8分) 如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O 的弦。过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过 点C作CD//AB，交AD于点D。连接AO并延长交BC 于点M，交过点C的直线于点P，且 BCP= ACD。 (1) 判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由： (2) 若AB=9，BC=6，求PC的长。

26. (9分) 已知二次函数y=a(x m)2 a(x m) (a、m为常数，且a 0)。

(1) 求证：不论a与m为何值，该函数的图像与

x轴总有两个公共点；

(2) 设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。 当△ABC的面积等于1时，求a的值：

当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值。

27. (10分) 对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个 三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为 逆相似。例如，如图 ，△ABC～△A’B’C’且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相同， 因此△ABC 与△A’B’C’互为顺相似；如图 ，△ABC～△A’B’C’，且沿周界ABCA与 A’B’C’A’环绕的方向相反，因此△ABC 与△A’B’C’互为逆相似。

’

(1) 根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形： △ADE与△ABC； △GHO与△KFO； △NQP与△NMQ。其中，互为顺相似的是；互为逆相 似的是。(填写所有符合要求的序号)

(2) 如图 ，在锐角△ABC中， A< B< C，点P在△ABC的边上(不与点A、B、C重 合)。过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似。请根据点P 的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明 理由。

B

南京市2013年初中毕业生学业考试 数学试题参考答案及评分标准

说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分。

一、选择题 (本大题共6小题，每小题2分，共12分)

二、填空题 (本大题共10小题，每小题2分，共20分)

1

7. 3； 3 8. 2 ； 9. x 1； 10. 1.3 104； 11. 20； 12. 3 ； 13. 9； 14. 本题答案不唯一，如(x 1)2=25； 7 1

15. 3； 3 16. 6

三、解答题 (本大题共11小题，共88分) 17. (本题6分) 解：(

18. (本题6分)

解：方程两边同乘x 2，得2x=x 2 1。解这个方程，得x= 1。 检验：x= 1时，x 2 0，x= 1是原方程的解。 (6分)

19. (本题8分)

证明：(1) ∵BD平分 ABC，∴ ABD= CBD。又∵BA=BC，BD=BD， ∴△ABD △CBD。∴ ADB= CDB。 (4分) (2) ∵PM AD，PN CD，∴ PMD= PND=90 。 又∵ ADC=90 ，∴四边形MPND是矩形。

∵ ADB= CDB，PM AD，PN CD，∴PM=PN。 ∴四边形MPND是正方形。 (8分)

20. (本题8分)

(1) 解： 搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果有：红、黄、蓝、白，共有 4种，它们出现的可能性相同。所有的结果中，满足“恰好是红球”(记为事件 A)的结果只有1种，所以P(A)= 4 。

搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸 出1个球，所有可能出现的结果有：(红，红)、(红，黄)、(红，蓝)、(红，白)、 (黄，红)、(黄，黄)、(黄，蓝)、(黄，白)、(蓝，红)、(蓝，黄)、(蓝，蓝)、(蓝，

1

1 b a (a b) b a b a a b 1

) =． a = ． a = 。 a b a b a b (a b)(a b) (a b)(a b) a b

白)、(白，红)、(白，黄)、(白，蓝)、(白，白)，共有16种，它们出现的可能 性相同。所有的结果中，满足“两次都是红球”(记为事件B)的结果只有1种， 所以P(B)= 16 。 (6分) (2) B (8分)

21. (本题9分)

解：(1) 不合理。因为如果150名学生全部在同一个年级抽取，那么全校每个学生被抽到 的机会不相等，样本不具有代表性。 (2分)

某校2000名学生上学方式条形统计图

乘私家车 交通工具

1

(3) 本题答案不唯一，下列解法供参考。

乘私家车上学的学生约400人，建议学校与交通部门协商安排停车区域。 (9分)

22. . (本题8分)

解：在Rt△AHO中，sin = OA ∴OA= ∵AB=4，∴OA OB=4，即

23. (本题8分)

解：(1) 购买一件标价为1000元的商品，消费金额为800元， 顾客获得的优惠额为1000 (1 80%) 150=350(元)。 (2分) (2) 设该商品的标价为x元。

当80%x 500，即x 625时，顾客获得的优惠额不超过625 (1 80%) 60=185<226； 当500<80%x 600，即625 x 750时，(1 80%)x 100 226。解得x 630。 所以630 x 750。

当600<80%x 800 80%，即750<x 800时，

顾客获得的优货额大于750 (1 80%) 130=280>226。

综上，顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优或额不少于226元， 那么该商品的标价至少为630元。 (8分)

OH

OH sin

。 在Rt△BHO中，sin = OB ∴OB=

OH

OH

sin

4sin sin OH OH =4。∴OH= (m)。 (8分) sin sin sin sin

24. (本题8分)

解：(1) 60；(1分)

(2) 当20 x 30时，设y与x之间的函数关系式为y=kx b。 根据题意，当x=20时，y=60；当x=30时，y=24。

60=20k b k= 3.6

所以 ，解得 。所以，y与x之间的函数关系式为y= 3.6x 132。

24=30k b b=132

当x=22时，y= 3.6 22 132=52.8。

所以，小丽出发第22min时的速度为52.8km/h。(5分) (3) 小丽驾车从甲地到乙地行驶的路程为

2 60 2 60 60 60 2 60 2 60 48 60 2 60 =33.5(km)。

所以，小丽驾车从甲地到乙地共耗油33.5 100 (8分)

25. (本题8分)

解法一：(1) 直线PC与圆O相切。

如图 ，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN。 ∵AB//CD，∴ BAC= ACD。

∵ BAC= BNC，∴ BNC= ACD。

∵ BCP= ACD，∴ BNC= BCP。 ∵CN是圆O的直径，∴ CBN=90 。

∴ BNC BCN=90 ，∴ BCP BCN=90 。 ∴ PCO=90 ，即PC OC。

又点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。 (4分)

(2) ∵AD是圆O的切线，∴AD OA，即 OAD=90 。 ∵BC//AD，∴ OMC=180 OAD=90 ，即OM BC。 ∴MC=MB。∴AB=AC。

在Rt△AMC中， AMC=90 ，AC=AB=9，MC= 2 BC=3，

由勾股定理，得AM=AC MC=9 32。 设圆O的半径为r。

在Rt△OMC中， OMC=90 ，OM=AM AO=6 r，MC=3，OC=r， 由勾股定理，得OM 2 MC 2=OC 2，即(62 r)2 32=r2。解得r= 8 2。 在△OMC和△OCP中，

∵ OMC= OCP， MOC= COP， ∴△OMC～△OCP。∴ OC = PC OM

CM

27 62 8 2 27 8 2

0 12 5 12 60 5 10 60 24 10 24 48 5 10 48 0 5

10

1

27

= PC 。

3

∴PC= 7 。(8分)

解法二：(1) 直线PC与圆O相切。如图 ，连接OC。 ∵AD是圆O的切线，∴AD OA， 即 OAD=90 。

∵BC//AD，∴ OMC=180 OAD=90 ，

27

即OM BC。

∴MC=MB。∴AB=AC。∴ MAB= MAC。 ∴ BAC=2 MAC。又∵ MOC=2 MAC，∴ MOC= BAC。

∵AB//CD，∴ BAC= ACD。∴ MOC= ACD。又∵ BCP= ACD， ∴ MOC= BCP。∵ MOC OCM=90 ，∴ BCP OCM=90 。

∴ PCO=90 ，即PC OC。又∵点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。 (2) 在Rt△AMC中， AMC=90 ，AC=AB=9，MC= 2 BC=3，

由勾股定理，得AM=AC MC=9 32。 设圆O的半径为r。

在Rt△OMC中， OMC=90 ，OM=AM AO=62 r，MC=3，OC=r， 由勾股定理，得OM 2 MC 2=OC 2，即(62 r)2 32=r2。解得r= 8 2。 在△OMC和△OCP中，∵ OMC= OCP， MOC= COP，

27 62 2

8 OM CM 3 ∴△OMC～△OCP，∴ OC = PC 27 = PC 。 8 2

27

1

∴PC= 7 。(8分)

26. (本题9分)

(1) 证明：y=a(x m)2 a(x m)=ax2 (2am a)x am2 am。

因为当a 0时，[ (2am a)]2 4a(am2 am)=a2>0。

所以，方程ax2 (2am a)x am2 am=0有两个不相等的实数根。

所以，不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点。(3分) (2) 解： y=a(x m)2 a(x m)=(x 2 )2 4 ， 所以，点C的坐标为( 2 4 。

当y=0时，a(x m)2 a(x m)=0。解得x1=m，x2=m 1。所以AB=1。 当△ABC的面积等于1时， 2 1 | 4 |=1。 所以 2 1 ( 4 )=1，或 2 1 4 =1。 所以a= 8，或a=8。

1

a

1

a 1

a

2m 1

a

2m 1

a

27

当x=0时，y=am2 am，所以点D的坐标为(0, am2 am)。 当△ABC的面积与△ABD的面积相等时， 2 1 | 4 |= 2 1 | am2 am |。

所以 2 1 ( 4 )= 2 1 (am2 am)，或 2 1 4 = 2 1 (am2 am)。 所以m= 2 ，或m=

27. (本题10分)

(1) ； (4分)

(2) 解：根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况。

第一种情况：如图 ，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、 PQ2，分别使 CPQ1= A， BPQ2= A，此时△PQ1C、△PBQ2都与△ABC互为逆相似。 第二种情况：如图 ，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作 CBM= A，BM交AC 于点M。

当点P在AM(不含点M)上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使 AP1Q= ABC，此 时△AP1Q与△ABC互为逆相似；

当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使 AP2Q1= ABC， CP2Q2= ABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似。

第三种情况：如图 ，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作 BCD= A， ACE= B， CD、CE分别交AC于点D、E。

当点P在AD(不含点D)上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使 AP1Q= ABC，此时 △AQP1与△ABC互为逆相似；

当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使 AP2Q1= ACB， BP2Q2= BCA，此时△AQ1P2、△Q2BP2都与△ABC互为逆相似；

当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q’，使 BP3Q’= BCA， 此时△Q’BP3与△ABC互为逆相似。 (10分)

QQ2

Q’ Q2

P

B

Q

B

3 B

1 a 1

1 a 1 1 a 1

1

12 1 2 ，或m= 2 2 。 (9分)