第4节 多元复合函数与隐函数微分法

第四节

多元复合函数与隐函数微分法

一、多元复合函数微分法1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形

定理 如果函数u (t ) 及v (t ) 都在点 t 可 导，函数 z f ( u, v )在对应点( u, v ) 具有连续偏 导数，则复合函数 z f [ ( t ), ( t )]在对应点 t 可导，且其导数可用下列公式计算：

dz z du z dv . dt u dt v dt证略.

z

u v

t

类似地,若中间变量为三个, z f ( u , v , w ) , u (t ) , v (t ) , w (t ) ,则复合函数 z f [ ( t ), ( t ), ( t )] 的导数为

dz z du z dv z dw . dt u dt v dt w dt

z

u v w

t

dz 以上公式中的导数 称为全导数. dt2

dz . 例1 设 z u v , u sin x , v e ,求 dx2

x

解

dz z du z d v dx u dx v d x

2u cos x e x sin2 x e x .

2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理 设 z f (u, v ) 具 有连续偏导数, u ( x , y ) ,

v ( x , y ) 可偏 导,则复 合函数 z f [ ( x , y ), ( x , y )]可偏导, 且有

z z u z v z z u z v , . y u y v y x u x v x链式法则如图示

uz

xy4

v

2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理 设 z f (u, v ) 具 有连续偏导数, u ( x , y ) ,

v ( x , y ) 可偏 导,则复 合函数 z f [ ( x , y ), ( x , y )]可偏导, 且有

z z u z v z z u z v , . x u x v x y u y v y链式法则如图示

uz

xy5

v

类 似 地, 设 z f ( u , v , w ) , u ( x , y ) ,v ( x , y ) ,

w ( x , y ) ,则复合函数 z f [ ( x , y ), ( x , y ), ( x , y )]的偏导数为

z z u z v z w , x u x v x w x

z z u z v z w . y u y v y w y

z

u vw

xy6

设 z eu sinv ,而u xy ,v x y , 例2 z z 求 和 . x y

z z u z v u u 解 e sinv y e cosv 1 x u x v x

e [ y sin(x y) cos(x y)] ,xy

z z u z v u u e sinv x e cosv 1 y u y v y e xy[ x sin(x y) cos(x y)] .7

t v 例3 设 z uv sin t ,而 u e , cos t ,

dz 求全导数 . dt解

dz z du z dv z dt u dt v dt t

vet u sint cost e cost e sint costt t

et (cost sint ) cost .8

z z , . 例4 设 z xyu , u x y ,求 x y2 2

解

用求导法则，

z u y( u x ) y(3 x 2 y 2 ) 3 x 2 y

y 3 , x x

z x 3 3 xy2 . 由对称性可知， y

例5 设 u sin f (sin sin ) ,其中 f 可微，求证 x y x

证

u u cos x cos y cos x cos y . y x 记 v sin y sinx ,

u cos x f (v ) ( cos x ) cos x [1 f (v )] , x u f (v ) cos y , y u u cos x cos y 所以 y x f (v ) cos y cos x [1 f (v )] cos x cos y cos x cos y .10

x 例6 设 z xF( y ) ,其中 F 可微，求证

证

z z x y ln y z. x y x 记 u y , z u F ( u) xF ( u) F (u) xF (u) y x ln y , x x

u z xF ( u) xF (u) xyx 1 , y y z z y ln y xF(u) x 2 F (u) y x ln y 所以 x x y

(u) y x ln y xF( y x ) z . x F211

y 例7 设 z f ( xy ) ,f 有二阶连续导数,求 x z z 2 z , , . x y x y解

z z y 1 f (y 2 ) , f (x ) , y x x x

2z 1 y 1 f ( x ) ( y 2 ) f (1 2 ) . x x x x y

一阶全微分的形式不变性回顾： 设 y f (x) 可导，则dy f ( x) dx ,若又有 x g (t ) , g 可导，则复合函数y f [ g ( t )] 的 微分为 dy f ( x ) g ( t )dt ,

而 dx g (t ) dt , 因此又有 dy f ( x) dx ,

结论： 无论 x是自变量还是中间变量, 函数 y f ( x ) 的微分形式总是

dy f ( x ) dx此性质称为一阶微分的形式不变性.13

一阶全微分的形式不变性设函数 z f ( x , y ) 可微，当 x, y 为自变量时，有全微分

z z dz dx dy x y可以证明， 当 x, y 为 s, t 的可微函数，即x x( s, t )

y y( s, t ) 时,对复合函数 z f [ x(s, t ), y(s, t )] , z z dx dy 仍有公式 dz x y这就是说，不论x,y是自变量还是中间变量，其微 分形式不变，称为一阶微分的形式不变性.14

例8 求下列函数的偏导数和全微分.

(1) z ( x y ) e

xy

dz d[( x y ) e xy ] ( x y ) de xy e xyd( x y ) 解 ( x y ) e xy ( y dx x dy ) e xy (dx dy )

e ( xy y 1) dx e ( x xy 1) dy ,xy 2 xy 2

所以

z xy 2 e ( xy y 1) , x

z xy 2 e ( x xy 1) . y15

例8 求下列函数的偏导数和全微分.

(2) z x ln( x 2 y )2

dz d[ x ln( x 2 2 y )] 解

ln( x 2 2 y ) dx x d[ln( x 2 2 y )]d( x 2 2 y ) ln( x 2 2 y ) dx x x2 2 y 2 2x 2x 2 [ln( x 2 y ) 2 ] dx 2 dy , x 2y x 2y z 2x z 2x2 2 2 . ln( x 2 y ) 2 , x 2y x x 2 y y16

所以