大一上学期(第一学期)高数期末考试题1

好好学习,天天向上。

大一上学期高数期末考试

一、单项选择题

1. 设f(x) cosx(x sinx),则在x 0处有(

　).

（A）f (0) 2 （B）f (0) 1（C）f (0) 0 （D）f(x)不可导.

2. 设 (x) 1 x

1 x， (x) 3 3x，则当x 1时（　　）

.

（A） (x)与 (x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；

（B） (x)与 (x)是等价无穷小； （C） (x)是比 (x)高阶的无穷小； （D） (x)是比 (x)高阶的无穷小.

x

3. 若

F(x) 0

(2t x)f(t)dt

，其中f(x)在区间上( 1,1)二阶可导且

f (x) 0，则（ ）.

（A）函数F(x)必在x 0处取得极大值； （B）函数F(x)必在x 0处取得极小值；

（C）函数F(x)在x 0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线y F(x)的拐点；（D）函数F(x)在x 0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线y F(x)的拐点。1

4.

设f(x)是连续函数，且 f(x) x 2 0

f(t)dt , 则f(x) (

x2x

2

（A）2 （B）2 2

（C）x 1 （D）x 2.

5、设x2y e2y siny，则

dy

dx

（ ） (A) 2xy2xy 2xycosy 2e2y (B) e2y

cosy x

2

(C) 0 (D) cosy 2e2y x2 6、设函数f(x)

1

x

，则（ ）。

e

x 1

1

(A) x 0,x 1都是f(x)的第一类间断点； (B) x 0,x 1都是f(x)的第二类间断点；

(C) x 0是f(x)的第一类间断点, x 1是f(x)的第二类间断点； (D) x 0是f(x)的第二类间断点, x 1是f(x)的第一类间断点。

)

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二、填空题

4

.x 0

lim(1 3x)

2

sinx

.

5.

已知

12

cosxcosx

是f(x)的一个原函数,则 f(x) dx xx

6.

－

x2arcsinx 1

1 x

2

dx

.

12

7.已知lim

x 0

f(2x)x

2，则 lim

x 0xf(3x)

三、解答题

x y

y y(x)e sin(xy) 1确定，求y (x)以及y (0). 7. 设函数由方程

1 x7

求 dx.7

x(1 x)8.

x

1 xe，　　x 0

设f(x) 　求 f(x)dx．

32

2x x，0 x 19.

1

010. 设函数f(x)连续，，且x 0

g (x)并讨论g (x)在x 0处的连续性.

g(x) f(xt)dt

lim

f(x)

Ax，A为常数. 求

11. 求微分方程xy 2y xlnx满足

y(1)

1

9的解.

四、 解答题

12. 已知上半平面内一曲线y y(x)(x 0)，过点(0,1)，且曲线上任一点

M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x x0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.

13. 过坐标原点作曲线y lnx的切线，该切线与曲线y lnx及x 轴围

成平面图形D.

（1）求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V. 五、证明题

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14. 设函数f(x)在 0,1 上连续且单调递减，证明对任意的q [0,1]，

q

1

f(x)dx q f(x)dx

.

0, f(x)15. 设函数在上连续，且

f(x)dx 0

，

f(x)cosxdx 0

.

证明：在 0, 内至少存在两个不同的点 1, 2，使f( 1) f( 2) 0.（提

x

F(x)

示：设

f(x)dx）

解答

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1、D 2、A 3、C 4、C 5、D 6、D

二、 填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

1cosx2

() c16

e4. . 5.2x.6. 2. 7. .

3

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

7.解：方程两边求导

x y

)coxys(xy)(y ) e(1 y

ex y ycos(xy)

y (x) x y

e xcos(xy)

x 0,y 0，y (0) 1

7

7x6dx du 8.解：u x　　1(1 u)112

原式 ( )du

7u(1 u)7uu 1 1

(ln|u| 2ln|u 1|) c7 12

ln|x7| ln|1 x7| C77

9.

解： 3

1

f(x)dx xe xdx

3

x

3

00

xd( e)

0 2

x x2

xe e cos d 　(令x 1 sin ) 3

4

10.解：由f(0) 0，知g(0) 0。

2e3 1

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x

1

xt u

g(x) f(xt)dt

x

f(u)du

x

(x 0)

g (x)

xf(x) f(u)du

x

x0

2

(x 0)

g (0) lim

x 0

f(u)du

x2

lim

x 0x

f(x)A

2x2

A

AA

22，g (x)在x 0处连续。

limg (x) lim

x 0

x 0

xf(x) f(u)du

x

02

dy2

y lnxdxx11.解：

dxdx xxy e( elnxdx C)

2

2

11

xlnx x Cx 2

9 3

111

y(1) C, 0y xlnx x

39 9 ，

四、 解答题

12.解：由已知且

，

将此方程关于x求导得y 2y y

2

特征方程：r r 2 0

y 2 ydx y

x

解出特征根：r1 1,r2 2.

其通解为

y C1e x C2e2x

代入初始条件y(0) y (0) 1，得

21y e x e2x

33故所求曲线方程为：

C1

21

,C2 33

1

y lnx0 (x x0)

(x,lnx)x0，013.解：（1）根据题意，先设切点为0切线方程：

1y x

e 由于切线过原点，解出x0 e，从而切线方程为：

1

则平面图形面积

A (ey ey)dy

1

e 12

V1

1

e23

（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则

曲线y lnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积

好好学习,天天向上。

为V2

1

V2 (e ey)2dy

D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积五、证明题

q

1

q

V V1 V2

q

6

(5e2 12e 3)

1

14. 证明：0

q

f(x)dx q f(x)dx f(x)dx q( f(x)dx f(x)dx)

q

1q

(1 q) f(x)dx q f(x)dx

f( 1) f( 2)

1 [0,q] 2 [q,1]

q(1 q)f( 1) q(1 q)f( 2)

1

故有：

q

f(x)dx q f(x)dx

证毕。

x

015.证：构造辅助函数：。其满足在[0, ]上连续，在

(0, )上可导。F (x) f(x)，且F(0) F( ) 0

F(x) f(t)dt,0 x

由题设，有

0 f(x)cosxdx cosxdF(x) F(x)cosx| sinx F(x)dx

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