线性代数电子教案LA4-3B

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2．等价向量组：设向量组T1: 1, 2, , r, T2: 1, 2, , s 若 i(i 1,2, ,r)可由 1, 2, , s线性表示, 称T1可由T2线性表示；

若T1与T2可以互相线性表示, 称T1与T2等价．

(1) 自反性：T1与T1等价

(2) 对称性：T1与T2等价 T2与T1等价

(3) 传递性：T1与T2等价, T2与T3等价 T1与T3等价

定理8 向量组与它的最大无关组等价．

证 设向量组T的秩为r, T的一个最大无关组为T1: 1, 2, , r．

(1) T1中的向量都是T中的向量 T1可由T线性表示；

(2) 任意 T, 当 T1时, 可由T1线性表示； 当 T1时, 1, 2, , r, 线性相关, 而 1, 2, , r线性无关 由定理2知, 可由T1线性表示．故T可由T1线性表示． 因此, T与T1等价．

推论 向量组的任意两个最大无关组等价．

定理9 向量组T1: 1, 2, , r, 向量组T2: 1, 2, , s． 若T1线性无关, 且T1可由T2线性表示, 则r s． 证 不妨设 i与 j都是列向量, 考虑向量组

T: 1, 2, , r, 1, 2, , s

易见, 秩(T) 秩(T1) r．构造矩阵

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A 1 r 1 s

因为T1可由T2线性表示, 所以

A 0 0 1 s rankA s

于是可得 r 秩(T) rankA s．

推论1 若T1可由T2线性表示, 则 秩(T1) 秩(T2)．

证 设 秩(T1) r, 且T1的最大无关组为 1, , r；

秩(T2) s, 且T2的最大无关组为 1, , s, 则有

T1可由T2线性表示 1, , r可由T2线性表示

列 1, , r可由 1, , s线性表示 r s （定理9）

推论2 设向量组T1与T2等价, 则 秩(T1) 秩(T2)．

[注] 由“秩(T1) 秩(T2)”不能推出“T1与T2等价”！ 正确的结论是：

T1可由T2线性表示 T1与T2等价 秩(T1) 秩(T2)

T2可由T1线性表示 T1与T2等价 秩(T1) 秩(T2)

AB) rankA, rank(AB) rankB． 例8 设Am l,Bl n, 则 rank(

b1 c1 Δ 证 设A aijm l, B , AB C , 则

bl cm

ci ai1b1 ailbl(i 1,2, ,m)

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即c1, ,cm可由b1, ,bl线性表示, 故 rankC rankB． 根据上述结果可得

ranC k ranCkT() ranBkT(AT) rankAT() ranAk

§4.4 向量空间

1．向量空间：设V是具有某些共同性质的n维向量的集合, 若 对任意的 , V, 有 V； （加法封闭） 对任意的 V, k R, 有k V． （数乘封闭） 称集合V为向量空间． 例如：Rn {x

V0 {x

V1 {xx ( 1, 2, , n), i R} 是向量空间 x (0, 2, , n), i R} 是向量空间 x (1, 2, , n), i R} 不是向量空间 0 (1, 2, , n) (0,0, ,0) V1, 即数乘运算不封闭． 例9 给定n维向量组 1, , m(m 1), 验证

V { k1 1 km m,ki R}

是向量空间．称之为由向量组 1, , m生成的向量空间, 记作 L( 1, , m) 或者 span{ 1, , m}

证 设 , V, 则 k1 1 km m, t1 1 tm m, 于是有 (k1 t1) 1 (km tm) m V

k (kk1) 1 (kkm) m V ( k R)

由定义知, V是向量空间．

2．子空间：设V1和V2都是向量空间, 且V1 V2, 称V1为V2的子空间．

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例如：前面例子中的V0是Rn的子空间．

例9中的L( 1, , m)也是Rn的子空间．

3．向量空间的基与维数：设向量空间V, 若

(1) V中有r个向量 1, , r线性无关；

(2) V可由 1, , r线性表示．

称 1, , r为V的一组基, 称r为V的维数, 记作dimV r或者Vr．

[注] 零空间{ }没有基, 规定dim{ } 0．

由条件(2)可得：V中任意r 1个向量线性相关．（自证） 若dimV r, 则V中任意r个线性无关的向量都可作为V的基． 例10 设向量空间V的基为 1, , r, 则V L( 1, , r)． 证 V k1 1 kr r L V L

L k1 1 kr r V L V

4．向量在基下的坐标：设向量空间V的基为 1, , r, 对于 V, 表示式 x1 1 xr r唯一（定理2）, 称(x1, ,xr)T为 在 基 1, , r下的坐标（列向量）．

[注] 为n维向量, 在V的基 1, , r下的坐标为r维列向量． 因为线性无关的“n维向量组”最多含有n个向量, 所以由 n维向量构成的向量空间的基中最多含有n个向量, 故r n． 例11 设向量空间V3的基为

1 (1,1,1,1)T, 2 (1,1, 1,1)T, 3 (1, 1, 1,1)T 求 (1,2,1,1)T在该基下的坐标．

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解 设 x1 1 x2 2 x3 3, 比较等式两端的对应分量可得：

11 1 1 x 1 1 2 1 1 x 1 1 1 2 1 x3 111 1

111 1 1 1 01 12 1 1 11 0 111 1 0010001 02 , 1 2 00 x1 1 x 2 2 2 x3

[注] 是4维向量, 在V3的基 1, 2, 3下的坐标为3维列向量．

5．正交基：设向量空间V的基为 1, , r, 若[ i, j] 0(i j), 称 1, , r为V的正交基；若还有 i 1(i 1,2, ,r), 称 1, , r为V的标准正交基． 例如：Rn的标准正交基为e1, ,en． 特点：向量空间V的正交基为 1, , r, 对于 V, 有 x1 1 xr r：xi [ , i](i 1,2, ,r) [ i, i] 当 1, , r为标准正交基时, 有 x1 1 xr r：xi [ , i](i 1,2, ,r)

6．Schmidt正交化过程：设向量空间V的基为 1, , r, 令 1 1, 1 0

2 2 k21 1, 2 0 （否则 1, 2线性相关） [ 2, 1] 0 k21 [ 2, 1] [ 1, 1]

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3 3 k32 2 k31 1, 3 0 （否则 1, 2, 3线性相关） [ 3, 1] 0 k31 [ 3, 1] [ 1, 1]

[ 3, 2] [ 2, 2] [ 3, 2] 0 k32

………………

r r kr,r 1 r 1 kr1 1, r 0 （否则 1, , r线性相关） [ r, j] 0 krj [ r, j]

[ j, j](j 1,2, ,r 1)

结论： 1, 2, , r两两正交且非零 1, 2, , r线性无关 1, 2, , r是V的正交基 令uj 1

j j, 则u1,u2, ,ur是V的标准正交基

例12 已知向量空间V3的基为 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0), 3 ( 1,0,0,1) 求V3的一组正交基．

解 1 1 (1,1,0,0)

111 2 2 k21 1 2 ( ) 1 (, ,1,0) 222

11111 3 3 k32 2 k31 1 2 2 1 ( ,,,1) 32333

故V3的一组正交基为 1, 2, 3．

课后作业：习题四 6, 10, 11, 12