1-4运动学中的两类问题

§1.4 运动学中的两类问题

第1章 质点运动学

运动学中的两类问题 1 由质点的运动方程可以求得质点在任一 时刻的位矢、速度和加速度； 2 已知质点的加速度以及初始速度和初始位 置, 可求质点速度及其运动方程 .

r (t )

求导

积分

v(t )

求导

积分

a (t )

§1.4 运动学中的两类问题

第1章 质点运动学

2 例1.4 已知一质点的运动方程为 r 3ti 4t j ， 式中r以m计，t以s计，求质点运动的轨道、速度、加 速度. 解: 将运动方程写成分量式

x 3t

y 4t

2

图1-13

消去参变量t，得轨道方程：

4x 9 y 0

2

由速度定义得 由加速度的定义得

dr v 3i 8tj dt dv a 8 j dt

这是顶点在原点的抛物线.

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第1章 质点运动学

例1.5 一质点沿半径为1m的圆周运动，它通 过的弧长s按 s t 2t 2 的规律变化.问它在2s末 的速率、切向加速度、法向加速度各是多少？ ds v 1 4t 解: 由速率定义，有 dt

将t＝2代入，得2 s末的速率为

v 1 4 2 9 m / s

其法向加速度为

v2 an 81 m / s 2 R d 2s 2 a 4 m / s . 由切向加速度的定义，得 2 dt

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第1章 质点运动学

例1.6 一质点沿x轴运动，其加度 a kv2，式中 k为正常数，设t=0时，x=0，v=v0；（1）求v和x作为 t 的函数的表示式； （2）求v作为x函数的表示式。

解: (1)因为

dv adt kv2 dt

dv kdt 2 v

分离变量得 积分得

1 kt c1 v

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第1章 质点运动学

1 因为t＝0时， .代入， v v0 ， 所以 c1 v0 并整理得 v0 v 1 v0 kt

再由 dx vdt ，将v的表示式代入，并取积分

v0 dt 1 x c2 ln(1 kv0t ) c2 1 v0 kt k

因为t＝0时，x＝0，所以 c 2 ＝0.于是

1 x ln(1 kv0t ) k

§1.4 运动学中的两类问题

第1章 质点运动学

(2)因为

dv dv dx dv a v dt dx dt dx

vdv kv 2 dx

所以有

分离变量，并取积分

dv kdx c3 v

kx ln v c3 v v0 ，所以 c3 ln v0 .代入，并整理得 因为x＝0时，

v v0e

kx

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第1章 质点运动学

例题 一质点沿半径为1 m的圆周转动，其角量运 动方程为 2 3t 4t 3 (SI)， 求质点在2 s末的速率和切向加速度. d 2 解：因为 3 12t dt 将t＝2 代入，得2 s末的角速度为

d 24 dt

3 12 (2)2 45 rad / s 2 2s末的角加速度为 24 2 48 rad / s

在距轴心1 m处的速率为 v R 45 m / s 2 a R 48 m / s 切向加速度为