高一数学综合知识点(3)

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(??,?)?(?,??)）；（3）不等式3x2?2bx?1?0对x?[?1,2]恒成立，则实数b的取值范围是_______（答：

mn?）。

8. 简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。 如：（1）解不等式(x?1)(x?2)?0。（答：?1,??????2?）

2

（2）不等式(x??0的解集是____（答：?3,??????1?）

（3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)?0的解集为{x|1?x?2}，g(x)?0的解集为?，则不等式

f(x)?g(x)?0的解集为______（答：???,1???2,???）

（4）要使满足关于x的不等式2x?9x?a?0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式

2

?81?

x2?4x?3?0和x2?6x?8?0中的一个，则实数a的取值范围是.（答：?7,?）

?8?

9. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如：（1）解不等式

5?x

（答：??1,1???2,3?） ??1

x2?2x?3

（2）关于x的不等式ax?b?0的解集为(1,??)，求关于x的不等式（答：???,?1???2,???）

10. 绝对值不等式的解法：

（1）分段讨论（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|2?（2）利用绝对值的定义；

ax?b

?0的解集 x?2

31

x|?2?|x?|（答：R） 42

（3）数形结合；如解不等式|x|?|x?1|?3（答：???,?1???2,???）

（4）两边平方：如若不等式|3x?2|?|2x?a|对任意x?R恒成立，则实数a的取值范围。（答：??）

11. 含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是?”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. （见4中例题）

12. 含绝对值不等式的性质：

a、b同号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|；

?4??3?

a、b异号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|.

2

如设f(x)?x?x?13，实数a满足|x?a|?1，求证：|f(x)?f(a)|?2(|a|?1)

13. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。 如：（1）下列命题中正确的是

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A.y?x?的最小值是2

B.y?的最小值是2

x44

C.y?2?3x?(x?

0)的最大值是2?y?2?3x?(x

?0)的最小值是2?

xxy

（2）若x?2y?1，则2?4的最小值是______

（答：

11

（3）正数x,y满足

x?2y?

1，则?的最小值为______（答：3?

xy

14. 常用不等式有：（1???(当且仅当a?b?c时，取等号)，根据目标不等式2?222

左右的结构选用；（2）a、b、c?R，a?b?c?ab?bc?ca（当且仅当a?b?c时，取等号）；（3）若

bb?m，则（糖水的浓度问题）。如果正数a、b满足ab?a?b?3，则ab的取值范围是_________?a?b?0,m?0

aa?m

（答：?9,???）

15. 证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。

1111

111???2??? nn

?1n(n?1)nn(n?1)n

?

1n????

222222

如（1）已知a?b?c，求证：ab?bc?ca?ab?bc?ca ；

常用的放缩技巧有：

(2) 已知a,b,c?R，求证：ab?bc?ca?abc(a?b?c)；

（3）已知a,b,x,y?

R，且

*

(4)若n?N(n?1)?

222222

?

xy11

； ??,x?y，求证：

x

?ay?bab

n；

(5)已知|a|?|b|，求证：

|a|?|b||a|?|b|

?；

|a?b||a?b|

16. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）

（1）恒成立问题

若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?min?A 若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?max?B 如（1）不等式x?4?x?3?a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围

2

（2）若不等式2x?1?m(x?1)对满足m?2的所有m都成立，则x的取值范围

（3）若不等式x2?2mx?2m?1?0对0?x?1的所有实数x都成立，求m的取值范围.

（2）能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式f?x??A成立,则等价于在区间D上f?x?max?A； 若在区间D上存在实数x使不等式f?x??B成立,则等价于在区间D上的f?x?min?B.如 已知不等式x?4?x?3?a在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围____ （3）恰成立问题

若不等式f?x??A在区间D上恰成立, 则等价于不等式f?x??A的解集为D；

若不等式f?x??B在区间D上恰成立, 则等价于不等式f?x??B的解集为D.

三、函数

1. 函数的定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如（1）已知函数f(x)，x?F，那么集合{(x,y)|y?f(x),x?F}?{(x,y)|x?1}中所含元素的个数有个（答： 0或1）；（2）若函数y?

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x?2x?4的定义域、值域都是闭区间[2,2b]，则2

b＝2）

2. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为y?x，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9）

3. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，0次幂的底数不能为零。如（1）函数

2

y?

x?3的定义域是____(答：(0,2)?(2,3)?)；（2）若函数y?(3,4)

kx?7

的定义域为R，则

kx2?4kx?3

?3?

k?_______(答：?0,?)；（3）函数f(x)的定义域是[a,b]，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定义域

?4?

是__________(答：[a,?a])；

（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。

（3）复合函数的定义域：若已知f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a?g(x)?b解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于当x?[a,b]时，求g(x)的值域（即f(x)的定义域）。如（1）若函数y?f(x)的定义域为?,2?，则f(2)的定义域为__________（答：x|

2

?1?x??

f(x2?1)的定义域为[?2,1)，则函数f(x)的定义域为________（答：[1,5]）．

?

2?x?4）；（2）若函数

?

4. 求函数值域（最值）的方法：

（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两 …… 此处隐藏：1687字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……