高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧(5)

高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧

积转化成三个侧面面积之和， 侧面 BCC1B1 是正 方形，侧面 ACC1A1 和侧面 ABB1A1 是平行四边形，分别求其 面积即可. 解答过程：①点 A1 在底面 ABC 的射影在 AC 上， ∴ 平面 ACC1A1⊥平面 ABC. 在△ABC 中，由 BC＝AC＝a，AB＝ 2 a. ∴ ∠ACB＝90°，∴ BC⊥AC. ∴ BC⊥平面 ACC1A1. 即 ∠CAB 为 AB 与侧面 AC1 所成的角在 Rt△ABC 中，∠CAB＝45°. ∴ AB 与侧面 AC1 所成角是 45°. ② ∵ O 是 AC 中点，在 Rt△AA1O 中，AA1＝a，AO＝ A D B O C B1 A1 C1

1 a. 2

∴ AO1＝

3 a. 2 3 2 a . 2

∴ 侧面 ACC1A1 面积 S1＝ AC AO1＝ 又 BC⊥平面 ACC1A1 ， ∴ BC⊥CC1.

又 BB1＝BC＝a ，∴ 侧面 BCC1B1 是正方形，面积 S2＝a2. 过 O 作 OD⊥AB 于 D ，∵ A1O⊥平面 ABC， ∴A1D⊥AB. 在 Rt△AOD 中，AO＝

1 a ，∠CAD＝45° 2

∴ OD＝

2 a 4

在 Rt△A1OD 中，A1D＝ OD 2＋A1O 2 ＝ （

7 2 2 3 2 a. a）＋（ a） ＝ 8 4 2 7 7 2 a＝ a . 2 8

∴ 侧面 ABB1A1 面积 S3＝ AB A1 D＝ 2a

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∴

三 棱 柱 侧 面 积

S ＝ S1 ＋ S2 ＋ S3 ＝ A

1 （2＋ 3＋ 7）a 2 . 2

例 16. 等边三角形 ABC 的边长为 4，M、N 分别为 AB、AC 的中点，沿 MN 将△AMN 折起，使得面 AMN 与面 MNCB 所成的二面角为 30°， 则四棱锥 A—MNCB 的体积为 （ ） B C、 M

K

N

L A

3 A、 2

D、3

3 B、 2

C

3

[思路启迪]先找出二面角平面角，即∠AKL ,再在△ AKL 中求出棱锥的高 h，再利用 V＝

1 Sh 即可. 3

M K

N C L B

解答过程：在平面图中，过 A 作 AL⊥BC，交 MN 于 K，交 BC 于 L. 则 AK⊥MN，KL⊥MN. ∴ ∠AKL＝30°. 则四棱锥 A—MNCB 的高 h＝ AK sin30° ＝

3 . 2

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S MNCB＝

2＋4 KL ＝ 3 3 . 2 1 3 3 3 ＝ . 2 2

∴ VA－MNCB＝ 3 3 ∴ 答案 A

例 17.如图，四棱锥 P—ABCD 中，底面是一个矩形，AB＝3，AD＝1，又 PA⊥AB，PA＝4， ∠PAD＝60° ① 求四棱锥的体积； ② 求二面角 P－BC－D 的大小. 思路启迪①找棱锥高线是关键， 由题中条件可设△PAD 的 高 PH 即是棱锥的高. ②找出二面角平面角∠PEH， Rt△PHE 中即可求出此角. 在 解答过程：①∵ PA⊥AB ，AD⊥AB. ∴ AB⊥面 PAD .又 AB 面 ABCD. ∴ 面 PAD⊥面 ABCD. 在面 PAD 内，作 PH⊥AD 交 AD 延长线于 H. 则 PH⊥面 ABCD ，即 PH 就是四棱锥的高. 又∠PAD＝60°，∴ PH＝ PA sin 60°＝4 A B D H C E P 3 ＝2 3 . 2

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∴ VP－ABCD＝ S ABCD PH＝ 3 × 1 2 3＝2 3 . ② 过 H 作 HE⊥BC 交 BC 延长线于 E，连接 PE， 则 HE＝AB＝3. ∵ PH⊥面 ABCD， ∴ PE⊥BC. ∴ ∠PEH 为二面角 P－BC－D 的平面角. ∴ tan∠PEH＝

1 3

1 3

PH 2 3 . ＝ HE 3 2 3 . 3 2 ，则线段 9

O O1 r R A

即二面角的大小为 arctan

例 18 .（2006 年全国卷Ⅱ）已知圆 O1 是半径为 R 的球 O 的一 个小圆，且圆 O1 的面积与球 O 的表面积的比值为 OO1 与 R 的比值为 .

命题目的：①球截面的性质；②球表面积公式.

r 过程指引：依面积之比可求得 ，再在 Rt△OO1A 中即得 R

解答过程：设小圆半径为 r，球半径为 R 则

πr 2 2 ＝ 2 9 4πR

r2 2 ＝ 2 9 4R

r 2 2 ＝ R 3

∴ cos∠OAO1＝

r 2 2 ＝ R 3

而

OO1 8 1 ＝sinα＝ 1－ ＝ R 9 3

1 3

C1 A1 D E C A B B1

故填

【专题训练与高考预测】 一、选择题 1．如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，已知 AB=1，

D 在 BB1 上， 且 BD=1，若 AD 与侧面 AA1CC1 所成的角为 α ，则 α 的值为 （ A. ） π 3

arctan 10 4

B.

π 4

6 4

）

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A1

B1

D

C.

D. arcsin

2．直线 a 与平面 α 成 θ 角，a 是平面 α 的斜线，b 是平面 α 内与 a 异面的任意直线，则 a 与 b 所成的角（ C A

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A. 最小值 θ ，最大值 π θ C. 最小值 θ ，无最大值

B. 最小值 θ ，最大值

π

2

D. 无最小值，最大值

π

4

3．在一个 45° 的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成 45° 角，则此直线与二面角 的另一平面所成的角为（ A. ） B.

30°

45°

C.

60°

D. D1 A1

90°

C1 B1

4．如图，直平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长均为 2，

∠BAD = 60° ，则对角线 A1C 与侧面 DCC1D1 所成

的角的正弦值为（ A. ） B.

1 2

3 2 3 4

） A

D B

C

C.

2 2

D.

5．已知在 ABC 中，AB=9，AC=15， ∠BAC = 120° ，它所在平面外一点 P 到 ABC 三顶 点的距离都是 14，那么点 P 到平面 ABC 的距离为（ A. 13 B. 11 C. 9 ） A1 D. 7 D1 N M B1 C1

6．如图，在棱长为 3 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M、N 分别 是棱 A1B1、A1D1 的中点，则点 B 到平面 AMN 的距离是（ A.

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B.

3

D

C.

6 5 5

D.

2 A B

A

7．将 ∠QMN = 60° ，边长 MN=a 的菱形 MNPQ 沿对角线 NQ 折成 60° 的二面角，则 MP 与 NQ 间的距离等于( A. ) D.

3 a 2

B.

3 a 4

C.

6 a 4

3 a 4

8．二面角 α l β 的平面角为 120° ，在 α 内， AB ⊥ l 于 B，AB=2,在 β 内，CD ⊥ l 于 D， CD=3,BD=1, M 是棱 l 上的一个动点，则 AM+CM 的最小值为( ) A. 2 5

B.

2 2

C.

26

D.

2 6

9．空间四点 A、B、C、D 中,每两点所连线段的长都等于 a, 动点 P 在线段 AB 上, 动点 Q 在线段 CD 上，则 P 与 Q 的最短距离为( ) A.

1 a 2

B.

2 a 2

C.

3 a 2

D. a

10．在一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为 a ，现有一张正方形包装纸将其完全包

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住（不能裁剪纸，但可以折叠） ，那么包装纸的最小边长应为（ A. ( 2 + ） D.

6 )a

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