高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧(2)

PB = (0, 2 2, 1)

于是 cos AQ , PB =

3 . 9

(Ⅲ)由（Ⅱ） ，点 D 的坐标是（0，－ 2 2 ，0） AD = ( 2 2 ,2 2 ,0) ， ， PQ = (0, 0, 3) ，设 n = ( x, y, z ) 是平面 QAD 的一个法向量，由

n AQ = 0 2 x + z = 0 得 . n AD = 0 x + y = 0

取 x=1，得 n = (1,1, 2 ) . 所以点 P 到平面 QAD 的距离 d = 考点 2 异面直线的距离 此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法， 考纲只要求掌握已给出公垂线段的 异面直线的距离. 典型例题 例 3 已知三棱锥 S ABC ，底面是边长为 4 2 的正三角形，棱 SC 的长为 2，且垂直于底 面. E、D 分别为 BC、AB 的中点，求 CD 与 SE 间的距离. 思路启迪：由于异面直线 CD 与 SE 的公垂线不易寻找，所以设法 思路启迪 将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步 转化成求点到平面的距离. 解答过程： 解答过程 如图所示，取 BD 的中点 F，连结 EF，SF，CF，

PQ n n

=

3 2 . 2

∴ EF 为 BCD 的中位线，∴ EF ∥ CD ,∴ CD ∥面 SEF ,

∴ CD 到平面 SEF 的距离即为两异面直线间的距离. 又∵ 线面之间的距离可转化为线 CD 上一点 C 到平面 SEF

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。 状元源 / 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧

的距离，设其为 h，由题意知， BC = 4 2 ,D、E、F 分别是 AB、BC、BD 的中点， ∴ CD = 2 6 , EF =

1 CD = 6 , DF = 2 , SC = 2 2

∴ VS CEF =

1 1 1 1 2 3 EF DF SC = 6 2 2 = 3 2 3 2 3

在 Rt SCE 中， SE = 在 Rt SCF 中， SF = 又∵ EF =

SC 2 + CE 2 = 2 3 SC 2 + CF 2 = 4 + 24 + 2 = 30

6, ∴ S SEF = 3

1 1 2 3 2 3 ，解得 h = S SEF h ，即 3 h = 3 3 3 3 2 3 . 3

由于 VC SEF = VS CEF =

故 CD 与 SE 间的距离为

小结：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程. 小结 考点 3 直线到平面的距离 此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化. 典型例题 例 4． 如图，在棱长为 2 的正方体 AC1 中，G 是 AA1 的中点，求 BD 到平面 GB1 D1 的距离. ． 思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离 思路启迪 的方法求解. 解答过程： 解答过程 解析一 ∵ BD ∥平面 GB1 D1 ，

D1 O1 A1

H G D O A B

C1 B1

∴ BD 上任意一点到平面 GB1 D1 的距离皆为所求，以下求

点 O 平面 GB1 D1 的距离,

C

∵ B1 D1 ⊥ A1C1 ， B1 D1 ⊥ A1 A ，∴ B1 D1 ⊥ 平面 A1 ACC1 ,

又∵ B1 D1 平面 GB1 D1

∴ 平面 A1 ACC1 ⊥ GB1 D1 ，两个平面的交线是 O1G ,

作 OH ⊥ O1G 于 H，则有 OH ⊥ 平面 GB1 D1 ，即 OH 是 O 点到平面 GB1 D1 的距离. 状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。 状元源 / 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

在 O1OG 中， S O1OG = 又 S O1OG =

1 1 O1O AO = 2 2 = 2 . 2 2

1 1 2 6 . OH O1G = 3 OH = 2 ,∴ OH = 2 2 3 2 6 . 3

即 BD 到平面 GB1 D1 的距离等于 解析二 ∵ BD ∥平面 GB1 D1 ，

∴ BD 上任意一点到平面 GB1 D1 的距离皆为所求，以下求点 B 平面 GB1 D1 的距离. 设点 B 到平面 GB1 D1 的距离为 h，将它视为三棱锥 B GB1 D1 的高，则

V B GB1D1 = V D1 GBB1 ,由于S GB1D1 = V D1 GBB1 =

1 × 2 2 × 3 = 6， 2

4 2 6 1 1 4 = , × × 2× 2× 2 = , ∴h = 3 2 3 3 6 2 6 . 3

即 BD 到平面 GB1 D1 的距离等于

小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求 小结 线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离； 解析二是等体积法求出点面距离. 考点 4 异面直线所成的角 此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所 成的角是高考考查的重点. 典型例题 年北京卷文） 例 5（2007 年北京卷文） （ 如图，在 Rt△AOB 中， ∠OAB = π ，

高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧

斜边 AB = 4 ． Rt△ AOC 可以通过

6

A

Rt△ AOB 以直线 AO 为轴旋转得到，且二面角 B AO C 的直二面 角． D 是 AB 的中点． D

（I）求证：平面 COD ⊥ 平面 AOB ； （II）求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小． 思路启迪： 思路启迪 （II）的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内. 解答过程：解法 1： （I）由题意， CO ⊥ AO ， BO ⊥ AO ， 解答过程 ∴∠BOC 是二面角 B AO C 是直二面角， ∴ CO ⊥ BO ，又∵ AO ∩ BO = O ，

O C

E

B

∴ CO ⊥ 平面 AOB ， 又 CO 平面 COD ． ∴ 平面 COD ⊥ 平面 AOB ． （II）作 DE ⊥ OB ，垂足为 E ，连结 CE （如图） ，则 DE ∥ AO ，

z

A 状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。 D

状元源 / 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

∴∠CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角．

在 Rt△COE 中， CO = BO = 2 ， OE = 1 BO = 1 ，

2

∴ CE = CO 2 + OE 2 = 5 ．

又 DE = 1 AO = 3 ．

2

∴ 在 Rt△CDE 中， tan CDE = CE = 5 = 15 ．

DE 3 3

∴ 异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arctan 15 ．

3

解法 2： （I）同解法 1． （II）建立空间直角坐标系 O xyz ，如图，则 O (0， 0) ， A(0， 2 3) ， C (2， 0) ， D (0， 3) ， 0， 0， 0， 1，

1， ∴ OA = (0， 2 3) ， CD = ( 2， 3) ， 0，

∴ cos < OA， >= CD

OAiCD OA i CD

=

6 6． = 4 2 3 i2 2

∴ 异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arccos 6 ．

4 小结： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直 小结

线中的一条直线上选择“特殊点” ，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如 解析二；②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的 关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同 时要特别注意异面直线所成的角的范围： 0, π .

2

高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧

（2006 年广东卷）如图所示，AF、DE 分别是⊙O、⊙O1 的直径.AD 与两圆所在的平 例

6． 面均垂直，AD＝8,BC 是⊙O 的直径，AB＝AC＝6，OE//AD. (Ⅰ)求二面角 B—AD—F 的大小； (Ⅱ)求直线 BD 与 EF 所成的角. 命题目的：本题主要考查二面角以及异面直线所成的角等基 命题目的 本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 过程指引：关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角并 过程指引 掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法. 解答过程： (Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直, 解答过程 ∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠ …… 此处隐藏：3640字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……