高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧(3)

1 1 hi S1 = SO i S 2 ，解得 h = 2 ． 3 3

设 SD 与平面 SAB 所成角为 α ，则 sin α = h =

SD

2 22 ． = 11 11

所以，直线 SD 与平面 SBC 所成的我为 arcsin 22 ．

11

解法二： （Ⅰ）作 SO ⊥ BC ，垂足为 O ，连结 AO ，由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD ，得 SO ⊥ 平面 ABCD ． 因为 SA = SB ，所以 AO = BO ． 又 ∠ABC = 45 ， △ AOB 为等腰直角三角形， AO ⊥ OB ． S 如图，以 O 为坐标原点， OA 为 x 轴正向，建立直角坐标系 O xyz ，

z

A( 2， 0) ， B (0， 2， ， C (0， 2， ， S (0，1) ， SA = ( 2， 1) ， 0， 0) 0) 0， 0， CB = (0， 2， ， SAiCB = 0 ，所以 SA ⊥ BC ． 2 0)

（Ⅱ）取 AB 中点 E ， E 2 ， 2 ， ， 0

2 2

1 连结 SE ，取 SE 中点 G ，连结 OG ， G 2 ， 2 ， ． 4 4 2

G

C

O

A

D

E

B

y

x

2 2 1， 2 2 ， AB = ( 2， 2， ． 0) OG = 1 4 ，4 ， SE = 2 ，2 ， 2 SE iOG = 0 ， ABiOG = 0 ， OG 与平面 SAB 内两条相交直线 SE ， AB 垂直．

所以 OG ⊥ 平面 SAB ，OG 与 DS 的夹角记为 α ，SD 与平面 SAB 所成的角记为 β ， α 与 则

β 互余．

D ( 2， 2， ， DS = ( 2， 2， ． 2 0) 2 1)

cos α = OG i DS OG i DS = 22 ， sin β = 22 ， 11 11

所以，直线 SD 与平面 SAB 所成的角为 arcsin 22 ． 11

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小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；

高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧

（2） 小结 当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论 证作出的角为所求的角， ③计算——常用解三角形的方法求角， ④结论——点明直线和平面 所成的角的值. 考点 6 二面角 此类题主要是如何确定二面角的平面角， 并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合 适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点，应重视. 典型例题 （2007 年湖南卷文） 年湖南卷文） 例 8． ． （ 如图，已知直二面角 α PQ β ， A ∈ PQ ， B ∈ α ， C ∈ β ， CA = CB ， ∠BAP = 45 ， 直线 CA 和平面 α 所成的角为 30 ．

β C

P （I）证明 BC ⊥ PQ ； （II）求二面角 B AC P 的大小． 命题目的：本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思 命题目的 维能力和运算能力. 过程指引： 过程指引 （I）在平面 β 内过点 C 作 CO ⊥ PQ 于点 O ，连结 OB ． 因为 α ⊥ β ， α ∩ β = PQ ，所以 CO ⊥α ， 又因为 CA = CB ，所以 OA = OB ． 而 ∠BAO = 45 ，所以 ∠ABO = 45 ， ∠AOB = 90 ， 从而 BO ⊥ PQ ，又 CO ⊥ PQ ， 所以 PQ ⊥ 平面 OBC ．因为 BC 平面 OBC ，故 PQ ⊥ BC ． （II）解法一：由（I）知， BO ⊥ PQ ，又 α ⊥ β ， α ∩ β = PQ ， P A B Q

α

β C

B O

H A Q

α

BO α ，所以 BO ⊥ β ．

过点 O 作 OH ⊥ AC 于点 H ，连结 BH ，由三垂线定理知， BH ⊥ AC ． 故 ∠BHO 是二面角 B AC P 的平面角． 由（I）知， CO ⊥α ，所以 ∠CAO 是 CA 和平面 α 所成的角，则 ∠CAO = 30 ，

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不妨设 AC = 2 ，则 AO =

3 ， OH = AO sin 30 =

3 ． 2

在 Rt△OAB 中， ∠ABO = ∠BAO = 45 ，所以 BO = AO = 3 ， 于是在 Rt△BOH 中， tan ∠BHO =

BO = OH

3 3 2

= 2．

故二面角 B AC P 的大小为 arctan 2 ． 解法二：由（I）知， OC ⊥ OA ， OC ⊥ OB ， OA ⊥ OB ，故可以 O 为原点，分别以直线

OB，OA，OC 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系（如图） ．

因为 CO ⊥ a ，所以 ∠CAO 是 CA 和平面 α 所成的角，则 ∠CAO = 30 ． 不妨设 AC = 2 ，则 AO =

3 ， CO = 1 ．

在 Rt△OAB 中， ∠ABO = ∠BAO = 45 ， 所以 BO = AO = 3 ． 则相关各点的坐标分别是 P

β C z

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A B O y Q

α x

O (0， 0) ， B ( 3， 0) ， A(0，3， ， C (0，1) ． 0， 0， 0) 0，

所以 AB = ( 3， 3， ， AC = (0， 3， ． 0) 1) 设 n1 = { x，y，z} 是平面 ABC 的一个法向量，由

n1 i AB = 0， 3 x 3 y = 0， 得 n1 i AC = 0 3 y + z = 0

， ， 取 x = 1 ，得 n1 = (11 3) ． ， 0) 易知 n2 = (1 0， 是平面 β 的一个法向量． n2 设二面角 B AC P 的平面角为 θ ，由图可知， θ =< n1， > ．

所以 cos θ =

n1 n2 1 5 = = ． | n1 |i| n2 | 5 ×1 5

5 ． 5

故二面角 B AC P 的大小为 arccos

小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平 小结 面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱， ②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱， ③补形构造几何体发现棱； 解法二则是利用

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平面向量计算的方法， 这也是解决无棱二面角的一种常用方法， 即当二面角的平面角不易作 出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小. ( 在四棱锥 P－ABCD 中， ⊥ 底面 ABCD, ∠ DAB 为直角， ‖ PA AB 例 9． 2006 年重庆卷)如图， CD，AD=CD=2AB, E、F 分别为 PC、CD 的中点. （Ⅰ）试证：CD ⊥ 平面 BEF； （Ⅱ） PA＝k 设 AB,且二面角 E-BD-C 的平面角大于 30° , 求 k 的取值范围. 命题目的：本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本 命题目的 知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 过程指引： 方法二关键是掌握利用空 过程指引 方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角； 间向量求空间距离和角的一般方法. 解答过程： 解答过程 解法一： （Ⅰ）证：由已知 DF // AB 且 ∠ DAD 为直角，

=

故 ABFD 是矩形，从而 CD ⊥ BF. 又 PA ⊥ 底 面 ABCD,CD ⊥ AD ， 故 由 三 垂 线 定 理 知 CD ⊥ PD.在△PDC 中，E、F 分别 PC、CD 的中点，故 EF∥PD,从而 CD ⊥ EF,由此得 CD ⊥ 面 BEF. （Ⅱ） 连结 AC 交 BF 于 G.易知 G 为 AC 的中点.连接 EG,则在△PAC 中易知 EG∥PA.又因 PA ⊥ 底面 ABCD,故 EG ⊥ 底面 ABCD.在底面 ABCD 中， 过 G 作 GH ⊥ BD,垂足为 H,连接 EH.由三垂线定理知 EH ⊥ BD.从而 ∠ EHG 为二面角 E-BD-C 的平面角. 设 AB=a,则在△PAC 中，有 EG=

1 1 PA= ka. 2 2

以下计算 GH，考察底面的平面图.连结 GD. 因 S△GBD=

1 1 BDGH= GBDF. 2 2 GB DF 故 GH= . BD

在△ABD 中，因为 AB＝a,AD=2a,得 BD= 5 a. 而 GB=

1 1 FB= AD=a，DF=AB,从而得 …… 此处隐藏：3794字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……